fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת פונקציה בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6307

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x^2+2x-1}{3x^2-3x-2})}^{\frac{1}{x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x^2+2x-1}{3x^2-3x-2})}^{\frac{1}{x}}=1

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{\infty^2+2\infty-1}{3\infty^2-3\infty-2})}^{\frac{1}{\infty}}

קיבלנו בבסיס ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x^2+2x-1}{3x^2-3x-2})}^{\frac{1}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{\frac{x^2+2x-1}{x^2}}{\frac{3x^2-3x-2}{x^2}})}^{\frac{1}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{3-\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}})}^{\frac{1}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

={(\frac{1+\frac{2}{\infty}-\frac{1}{\infty^2}}{3-\frac{3}{\infty}-\frac{2}{\infty^2}})}^{\frac{1}{\infty}}=

={(\frac{1+0-0}{3-0-0})}^0=

={(\frac{1}{3})}^0=

=1

הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?