תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x^2+2x-1}{3x^2-3x-2})}^{\frac{1}{x}}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x =\infty
ונקבל:
{(\frac{\infty^2+2\infty-1}{3\infty^2-3\infty-2})}^{\frac{1}{\infty}}
קיבלנו בבסיס ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
יש לנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x^2+2x-1}{3x^2-3x-2})}^{\frac{1}{x}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{\frac{x^2+2x-1}{x^2}}{\frac{3x^2-3x-2}{x^2}})}^{\frac{1}{x}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{3-\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}})}^{\frac{1}{x}}=
נציב אינסוף ונקבל:
={(\frac{1+\frac{2}{\infty}-\frac{1}{\infty^2}}{3-\frac{3}{\infty}-\frac{2}{\infty^2}})}^{\frac{1}{\infty}}=
={(\frac{1+0-0}{3-0-0})}^0=
={(\frac{1}{3})}^0=
=1
הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
