fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- הפרש פונקציות רציונליות – תרגיל 6311

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{3}{1-x^3}-\frac{2}{1-x^2})

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{3}{1-x^3}-\frac{2}{1-x^2})=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

\frac{3}{1-1^3}-\frac{2}{1-1^2}=

\frac{3}{0}-\frac{2}{0}=

=\infty-\infty

הערה: האפס במכנה אינו אפס מוחלט, אלא מספר השואף לאפס.

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{3}{1-x^3}-\frac{2}{1-x^2})=

נפרק את הפולינומים לגורמים ונעשה מכנה משותף, כדי להשתמש בכלל לופיטל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} (\frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)}-\frac{2}{(1-x)(1+x)})=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{3(1+x)-2(1+x+x^2)}{(1-x)(1+x)(1+x+x^2)}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{3+3x-2-2x-2x^2}{(1-x^2)(1+x+x^2)}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{-2x^2+x+1}{1+x+x^2-x^2-x^3-x^4}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{-2x^2+x+1}{1+x-x^3-x^4}=

נציב שוב ונקבל:

= \frac{-2\cdot 1^2+1+1}{1+1-1^3-1^4}=

= \frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{-4x+1}{1-3x^2-4x^3}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{-4\cdot 1+1}{1-3\cdot 1^2-4\cdot 1^3}=

=\frac{-3}{-6}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה