fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם שורש שלישי – תרגיל 6316

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}}{x^2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}}{x^2}=-\frac{1}{9}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{\sqrt[3]{1+0}-1-\frac{0}{3}}{0^2}=\frac{0}{0}

הערה: האפס במכנה אינו אפס מוחלט, אלא מספר השואף לאפס.

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1-\frac{x}{3}}{x^2}=

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}{(1+x)}^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{3}}{2x}=

נציב שוב אפס ונקבל:

= \frac{\frac{1}{3}{(1+0)}^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{3}}{2\cdot 0}=

\frac{0}{0}

נשתמש שוב בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3}){(1+x)}^{-\frac{5}{3}}}{2}=

נציב שוב אפס ונקבל:

=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3}){(1+0)}^{-\frac{5}{3}}}{2}=

=\frac{-\frac{2}{9}\cdot 1}{2}=

=-\frac{1}{9}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה