fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פונקציה בחזקת פונקציה – תרגיל 6319

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} {(e^x+3x)}^{\frac{1}{x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} {(e^x+3x)}^{\frac{1}{x}}=e^4

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

{(e^0+3\cdot 0)}^{\frac{1}{0}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0} {(e^x+3x)}^{\frac{1}{x}}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי לצאת מהמצב של “פונקציה בחזקת פונקציה” ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} e^{\ln {(e^x+3x)}^{\frac{1}{x}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}\ln (e^x+3x)}=

נסדר:

=\lim _ { x \rightarrow 0} e^{\frac{\ln (e^x+3x)}{x}}=

נכניס את הגבול פנימה:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\ln (e^x+3x)}{x}}=

הערה: אפשר לעשות זאת, כי פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה.

נציב שוב ונקבל:

=e^{\frac{\ln (e^0+3\cdot 0)}{0}}=

=e^{\frac{\ln 1}{0}}=

=e^{\frac{0}{0}}=

קיבלנו בחזקה “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{e^x+3x}\cdot (e^x+3)}{1}}=

נסדר:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^x+3}{e^x+3x}}=

נציב שוב ונקבל:

= e^{ \frac{e^0+3}{e^0+3\cdot 0}}=

= e^{ \frac{1+3}{1+0}}=

= e^4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה