fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- פונקציה בחזקת פונקציה בשאיפה לגבול חד-צדדי – תרגיל 6323

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0^+} {(\ln \frac{1}{x})}^x

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0^+} {(\ln \frac{1}{x})}^x=0

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0^+

ונקבל:

{(\ln \frac{1}{0^+})}^{0^+}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף בחזקת שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

\lim _ { x \rightarrow 0^+} {(\ln \frac{1}{x})}^x=

נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי לצאת מהמצב של “פונקציה בחזקת פונקציה” ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^+} e^{\ln{(\ln \frac{1}{x})}^x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0^+} e^{x\ln(\ln \frac{1}{x})}=

נכניס את הגבול פנימה:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^+} x\ln(\ln \frac{1}{x})}=

הערה: אפשר לעשות זאת, כי פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה.

נציב שוב ונקבל:

= e^{ 0^+\cdot\ln(\ln \frac{1}{0^+})}=

= e^{ 0^+\cdot\ln(\ln \infty)}=

= e^{ 0^+\cdot\infty}

קיבלנו בחזקה “שואף לאפס כפול שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה, כדי להשתמש בכלל לופיטל:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(\ln \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}=

נציב שוב:

= e^{\frac{\ln(\ln \frac{1}{0^+})}{\frac{1}{0^+}}}=

= e^{\frac{\infty}{\infty}}=

קיבלנו בחזקה “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}}}=

נסדר:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^+} \frac{1}{\frac{1}{x}\ln\frac{1}{x}}}=

נציב שוב ונקבל:

= \frac{1}{\frac{1}{0^+}\ln\frac{1}{0^+}}=

= \frac{1}{\infty\cdot\ln\infty}=

= \frac{1}{\infty\cdot\infty}=

= \frac{1}{\infty}=

= 0

הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה