fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה רציונלית בחזקת פולינום בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6326

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x-3}{2x+4})}^{\frac{x-1}{4}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x-3}{2x+4})}^{\frac{x-1}{4}}=e^{-\frac{7}{8}}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{2\infty-3}{2\infty+4})}^{\frac{\infty-1}{4}}

קיבלנו בבסיס ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x-3}{2x+4})}^{\frac{x-1}{4}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2x+4-7}{2x+4})}^{\frac{x-1}{4}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{-7}{2x+4})}^{\frac{x-1}{4}}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{-7}{2x+4}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{-7}{2x+4}= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{-7}{2x+4})}^{\frac{2x+4}{-7}\cdot\frac{-7}{2x+4}\cdot\frac{x-1}{4}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{-7}{2x+4})}^{\frac{2x+4}{-7}}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{-7}{2x+4}\cdot\frac{x-1}{4}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{-7(x-1)}{4(2x+4)}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{-7x+7}{8x+16}=

קיבלנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר בעל החזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{\frac{-7x+7}{x}}{\frac{8x+16}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{-7+\frac{7}{x}}{8+\frac{16}{x}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{-7+\frac{7}{\infty}}{8+\frac{16}{\infty}}=

=\frac{-7+0}{8+0}=

=\frac{-7}{8}

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{-7}{2x+4})}^{\frac{2x+4}{-7}\cdot\frac{-7}{2x+4}\cdot\frac{x-1}{4}}=

=e^{-\frac{7}{8}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה