fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה עם e בחזקת פונקציה עם e בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6329

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{e^x+x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{e^x+x}=e^2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(1+2e^{-\infty})}^{e^\infty+\infty}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{e^x+x}=

יש לנו בבסיס ביטוי מהצורה:

1+2e^{-x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} 2e^{-x}= 0

כנדרש.

נכפול את החזקה באיבר ההופכי ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{\frac{1}{2e^{-x}}\cdot 2e^{-x}\cdot (e^x+x)}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{\frac{1}{2e^{-x}}}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty} 2e^{-x}\cdot (e^x+x)=

=2\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^x+x}{e^x}=

נציב אינסוף ונקבל:

=2\cdot\frac{e^\infty+\infty}{e^\infty}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=2\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{e^x+1}{e^x}=

=2\lim _ { x \rightarrow \infty} 1+\frac{1}{e^x}=

שוב נציב אינסוף:

=2\cdot(1+\frac{1}{e^\infty})=

=2\cdot(1+\frac{1}{\infty})=

=2\cdot(1+0)=

=2

לכן, סה”כ מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+2e^{-x})}^{\frac{1}{2e^{-x}}\cdot 2e^{-x}\cdot (e^x+x)}=

=e^2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה