fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בכל הפתרונות

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת פולינום בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6559

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3x^2+8x-6}{x^2-5x+2})}^{-x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3x^2+8x-6}{x^2-5x+2})}^{-x}=0

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{3\infty^2+8\infty-6}{\infty^2-5\infty+2})}^{-\infty}

קיבלנו בבסיס ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3x^2+8x-6}{x^2-5x+2})}^{-x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{\frac{3x^2+8x-6}{x^2}}{\frac{x^2-5x+2}{x^2}})}^{-x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3+\frac{8}{x}-\frac{6}{x^2}}{1-\frac{-5}{x}+\frac{2}{x^2}})}^{-x}=

נציב אינסוף ונקבל:

={(\frac{3+0-0}{1-0+0})}^{-\infty}=

=3^{-\infty}=

=\frac{1}{3^{\infty}}=

=\frac{1}{\infty}=

=0

הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?