תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3x^2+8x-6}{x^2-5x+2})}^{-x}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x =\infty
ונקבל:
{(\frac{3\infty^2+8\infty-6}{\infty^2-5\infty+2})}^{-\infty}
קיבלנו בבסיס ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
יש לנו מנה של פולינומים בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3x^2+8x-6}{x^2-5x+2})}^{-x}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{\frac{3x^2+8x-6}{x^2}}{\frac{x^2-5x+2}{x^2}})}^{-x}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{3+\frac{8}{x}-\frac{6}{x^2}}{1-\frac{-5}{x}+\frac{2}{x^2}})}^{-x}=
נציב אינסוף ונקבל:
={(\frac{3+0-0}{1-0+0})}^{-\infty}=
=3^{-\infty}=
=\frac{1}{3^{\infty}}=
=\frac{1}{\infty}=
=0
הערה: מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה, לחצו כאן.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
