fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש בשאיפה למינוס אינסוף – תרגיל 6566

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}=2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = -\infty

ונקבל:

\frac{-\infty-\sqrt{\infty^2-1}}{\infty}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2}})}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=

מכיוון ש-x שואף למינוס אינסוף, הוא שלילי. לכן, מתקיים:

\sqrt{x^2}=-x

נציב את זה בגבול:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x-(-x)\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{x+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x}=

נצמצם מונה ומכנה ב-x:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{1}=

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} 1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=

כמו כן, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2}=0

הערה: מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

נציב שוב

x = -\infty

ונקבל:

=1+\sqrt{1-0}=

=1+\sqrt{1}=

=2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה