fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב נגזרת – פונקציה בחזקת פונקציה – תרגיל 6377

תרגיל 

חשבו את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)={(1+\frac{1}{x})}^x

תשובה סופית


f'(x)={(1+\frac{1}{x})}^x (\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1})

פתרון

אין לנו נוסחת גזירה לפונקציה בחזקת פונקציה. כדי לעקוף את זה, נשתמש ב”טריק” – נשתמש בחוקי לוגריתמים, כדי לעבור למכפלה של פונקציות במקום פונקציה בחזקת פונקציה.

f(x)={(1+\frac{1}{x})}^x=

=e^{\ln {(1+\frac{1}{x})}^x}=

=e^{x\ln (1+\frac{1}{x})}

נגזור את הפונקציה בעזרת כלל ההרכבה וכלל המכפלה בכללי הגזירה ובעזרת נוסחאות גזירהנקבל:

f'(x)=e^{x\ln (1+\frac{1}{x})}\cdot (1\cdot\ln(1+\frac{1}{x})+x\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot (-\frac{1}{x^2})=

נסדר:

=e^{x\ln (1+\frac{1}{x})}\cdot ((\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x(1+\frac{1}{x})})=

מחוקי לוגריתמים נקבל:

={(1+\frac{1}{x})}^x (\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x+1})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה