fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 6403

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x(x+1)} dx

תשובה סופית


\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x(x+1)} dx=\ln\frac{3}{2}

פתרון

נחשב את האינטגרל הלא-מסוים:

\int \frac{1}{x(x+1)} dx

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים), לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. מכיוון שיש באינטגרל מנה של פולינומים, נשתמש בשיטה הנקראת פירוק לשברים חלקייםהפולינום במונה ממעלה קטנה יותר ממעלת הפולינום במכנה וכבר מפורק לגורמים אי-פריקים.

נפרק את המנה לשברים חלקיים. נעשה זאת כך: נגדיר שבר נפרד לכל גורם אי-פריק. את הגורם נשים במכנה, ובמונה נשים פולינום ממעלה אחת קטנה יותר ממעלת הפולינום במכנה. בתרגיל שלנו נקבל:

\frac{1}{(x(x+1)}=\frac{A}{x} +\frac{B}{x+1}=

נעשה מכנה משותף ונקבל:

=\frac{A(x+1) +Bx}{x(x+1)}=

=\frac{Ax+A+Bx}{x(x+1)}=

כעת, נסדר את המונה לפולינום:

=\frac{(A+B)x+A}{x(x+1)}

אנו רוצים שביטוי זה יהיה שווה לביטוי המקורי. לכן, נשווה ביניהם ונמצא עבור אלו ערכים של הפרמטרים A ו-B מתקיים שוויון:

\frac{1}{x(x+1)}=\frac{(A+B)x+A}{x(x+1)}

המכנה בשני האגפים זהה. לכן, נשווה את המונים:

1=(A+B)x+A

שני פולינומים שווים, אם המקדמים של האיברים המתאימים שווים, כלומר:

0=A+B

1=A

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה:

0=1+B

B=-1

נציב את התוצאה באינטגרל ונקבל:

\int \frac{1}{x(x+1)} dx

=\int \frac{1}{x} -\frac{1}{x+1}dx=

עכשיו, הפונקציה הפנימית לינארית, ולכן אפשר להשתמש בכלל השלישי בכללי האינטגרציה ובנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\ln|x| -\ln|x+1|+c=

=\ln|\frac{x}{x+1}|+c

לבסוף, נציב את גבולות האינטגרציה ונקבל:

\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x(x+1)} dx=

=[\ln|\frac{x}{x+1}|]_{\frac{1}{2}}^1=

=\ln\frac{1}{1+1}-\ln\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=

=\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=

=\ln\frac{1}{2}-\ln\frac{1}{3}=

=\ln\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=

=\ln\frac{3}{2}=

=\ln\frac{3}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה