fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 6415

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_0^4 \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}} dx

תשובה סופית


\int_0^4 \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}} dx=\frac{7}{3}

פתרון

\int_0^4 \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}} dx=

צריך לפשט את הביטוי, כדי להגיע לאינטגרל מיידי. מכיוון שיש לנו ביטוי מהצורה a-b ואחד מהם הוא שורש, נשתמש בשיטת כפל בצמוד – נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה ונקבל:

=\int_0^4 \frac{x(1-\sqrt{2x+1})}{(1+\sqrt{2x+1})(1-\sqrt{2x+1})} dx=

=\int_0^4 \frac{x(1-\sqrt{2x+1})}{1-(2x+1)} dx=

=\int_0^4 \frac{x(1-\sqrt{2x+1})}{1-2x-1} dx=

=\int_0^4 \frac{x(1-\sqrt{2x+1})}{-2x} dx=

נצמצם:

=\int_0^4 \frac{1-\sqrt{2x+1}}{-2} dx=

=-\frac{1}{2}\int_0^4 1-\sqrt{2x+1} dx=

=-\frac{1}{2}\int_0^4 1-{(2x+1)}^{\frac{1}{2}} dx=

הגענו לאינטגרל מיידי עם פונקציה פנימית לינארית, לכן אפשר להשתמש בכלל השלישי בכללי האינטגרציה ובנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=-\frac{1}{2}\cdot[x-\frac{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot 2}]_0^4 =

=-\frac{1}{2}\cdot[x-\frac{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_0^4 =

=-\frac{1}{2}\cdot[x-\frac{1}{3}\cdot{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}]_0^4 =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=-\frac{1}{2}\cdot[4-\frac{1}{3}\cdot{(2\cdot 4+1)}^{\frac{3}{2}}-(0-\frac{1}{3}\cdot{(2\cdot 0+1)}^{\frac{3}{2}})]=

=-\frac{1}{2}\cdot[4-\frac{1}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3}\cdot 1^{\frac{3}{2}})]=

=-\frac{1}{2}\cdot[4-\frac{1}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{3})]=

=\frac{5}{2}-\frac{1}{6}

=\frac{7}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה