fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 6425

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_1^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx

תשובה סופית


\int_1^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx=3

פתרון

\int_1^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} dx=

צריך לפשט את הביטוי, כדי להגיע לאינטגרל מיידי. נגרום למונה להיות דומה לביטוי במכנה כך:

=\int_1^4\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sqrt{2x+1}} dx=

=\frac{1}{2}\cdot \int_1^4\frac{2x+1-1}{\sqrt{2x+1}} dx=

=\frac{1}{2}\cdot \int_1^4\frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}}-\frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx=

=\frac{1}{2}\cdot \int_1^4{(2x+1)}^{\frac{1}{2}}-{(2x+1)}^{-\frac{1}{2}} dx=

הגענו לאינטגרל מיידי עם פונקציה פנימית לינארית, לכן אפשר להשתמש בכלל השלישי בכללי האינטגרציה ובנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=\frac{1}{2}\cdot[\frac{{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot 2}-\frac{{(2x+1)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}\cdot 2}]_1^4=

=\frac{1}{2}\cdot[\frac{1}{3}{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}-{(2x+1)}^{\frac{1}{2}}]_1^4=

=[\frac{1}{6}{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{(2x+1)}^{\frac{1}{2}}]_1^4=

נציב את גבולות האינטגרציה:

[\frac{1}{6}{(2\cdot 4+1)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{(2\cdot 4+1)}^{\frac{1}{2}}-(\frac{1}{6}{(2\cdot 1+1)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{(2\cdot 1+1)}^{\frac{1}{2}})]=

[\frac{1}{6}\cdot 9^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\cdot 9^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{6}\cdot 3^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 3^{\frac{1}{2}}]=

[\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{2}\cdot 3-\frac{1}{2}\cdot 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\cdot 3^{\frac{1}{2}}]=

\frac{1}{6}\cdot 3^3-\frac{1}{2}\cdot 3=

\frac{27}{6}-\frac{3}{2}=

=4\frac{1}{2}-\frac{3}{2}

=3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה