תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{-1}^1 \frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1} dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשים לב שתחום האינטגרציה הוא סימטרי סביב אפס:
(-1,1)
לכן, כדאי לבדוק אם הפונקציה אי-זוגית. נבדוק:
f(-x)=\frac{-x{(|-x|+1)}^7}{{(-x)}^4+{(-x)}^2+1}=
=\frac{-x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1}=
=-\frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1}=
=-f(x)
קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:
f(-x)=-f(x)
כלומר, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:
\int_{-1}^1 \frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1} dx=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
