fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – תחום סימטרי סביב אפס – תרגיל 6431

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-1}^1 \frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1} dx

תשובה סופית


\int_{-1}^1 \frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1} dx=0

פתרון

נשים לב שתחום האינטגרציה הוא סימטרי סביב אפס:

(-1,1)

לכן, כדאי לבדוק אם הפונקציה אי-זוגית. נבדוק:

f(-x)=\frac{-x{(|-x|+1)}^7}{{(-x)}^4+{(-x)}^2+1}=

=\frac{-x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1}=

=-\frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1}=

=-f(x)

קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:

f(-x)=-f(x)

כלומר, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:

\int_{-1}^1 \frac{x{(|x|+1)}^7}{x^4+x^2+1} dx=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה