תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{-2}^2 \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשים לב שתחום האינטגרציה הוא סימטרי סביב אפס:
(-2,2)
לכן, כדאי לבדוק אם הפונקציה אי-זוגית. נבדוק:
f(-x)=\frac{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}} =
=\frac{-(e^{x}-e^{-x})}{e^{x}+e^{-x}}=
=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=
=-f(x)
קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:
f(-x)=-f(x)
כלומר, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:
\int_{-2}^2 \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} dx=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
