תרגיל
חשבו את האינטגרל:
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \ln|\frac{1-x}{1+x}| dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
נשים לב שתחום האינטגרציה הוא סימטרי סביב אפס:
(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})
לכן, כדאי לבדוק אם הפונקציה אי-זוגית. נבדוק:
f(-x)=\ln|\frac{1-(-x)}{1+(-x)}|=
=\ln|\frac{1+x}{1-x}|=
=\ln|\frac{1-x}{1+x}|^{-1}=
=-\ln|\frac{1-x}{1+x}|=
=-f(x)
קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:
f(-x)=-f(x)
כלומר, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \ln|\frac{1-x}{1+x}| dx=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
