fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6506

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

z=\frac{y^2}{3x}+f(xy)

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

x^2z'_x-xyz'_y+y^2=0

הוכחה

נגדיר:

u=xy

קיבלנו את הפונקציה:

z=\frac{y^2}{3x}+f(u)

ואת הפונקציה הפנימית:

u(x,y)=xy

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z. נחשב את הנגזרת לפי x:

z'_x=\frac{y^2}{3}\cdot (-\frac{1}{x^2})+f'_u\cdot u'_x=

=-\frac{y^2}{3x^2}+f'_u\cdot y

נחשב את הנגזרת לפי y:

z'_y=\frac{1}{3x}\cdot 2y+f'_u\cdot u'_y=

=\frac{2y}{3x}+f'_u\cdot x

נציב את הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

x^2z'_x-xyz'_y+y^2=

=x^2(-\frac{y^2}{3x^2}+yf'_u)-xy(\frac{2y}{3x}+xf'_u)+y^2=

=-\frac{y^2}{3}+x^2yf'_u-\frac{2y^2}{3}-x^2yf'_u+y^2=

=-\frac{y^2}{3}-\frac{2y^2}{3}+y^2=

=y^2(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1)=

=y^2\cdot 0

= 0

קיבלנו אפס כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה