fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6520

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

z=xf(x+y)+yg(x+y)

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

z''_{xx}-2z''_{xy}+z''_{yy}=0

הוכחה

נגדיר:

u=x+y

קיבלנו את הפונקציה:

z=xf(u)+yg(u)

ואת הפונקציה הפנימית:

u(x,y)=x+y

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z. נחשב את הנגזרת לפי x:

z'_x=1\cdot f+x\cdot f'_x+y\cdot g'_x=

=f+x\cdot f'_u\cdot u'_x+y\cdot g'_u\cdot u'_x=

=f+x\cdot f'_u\cdot 1+y\cdot g'_u\cdot 1=

=f+xf'_u+yg'_u=

נחשב את הנגזרת השנייה לפי x:

z''_{xx}=f'_u\cdot u'_x+f'_u+x\cdot f''_u\cdot u'_x+y\cdot g''_u\cdot u'_x=

=f'_u\cdot 1+f'_u+x\cdot f''_u\cdot 1+y\cdot g''_u\cdot 1=

=f'_u+f'_u+xf''_u+y\cdot g''_u

נחשב את הנגזרת השנייה לפי y:

z''_{xy}=f'_u\cdot u'_y+x\cdot f''_u\cdot u'_y+g'_u+y\cdot g''_u\cdot u'_y=

=f'_u\cdot 1+x\cdot f''_u\cdot 1+g'_u+y\cdot g''_u\cdot 1=

=f'_u+x\cdot f''_u+g'_u+y\cdot g''_u

נחשב את הנגזרת לפי y:

z'_y=x\cdot f'_u\cdot u'_y+g+y\cdot g'_u\cdot u'_y=

=x\cdot f'_u\cdot 1+g+y\cdot g'_u\cdot 1=

=x\cdot f'_u+g+y\cdot g'_u

נחשב את הנגזרת השנייה לפי y:

z''_{yy}=x\cdot f''_u\cdot u'_y+g'_u\cdot u'_y+g'_u+y\cdot g''_u\cdot u'_y=

=x\cdot f''_u\cdot 1+g'_u\cdot 1+g'_u+y\cdot g''_u\cdot 1=

=x\cdot f''_u+g'_u+g'_u+y\cdot g''_u

נציב את הנגזרות השניות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

z''_{xx}-2z''_{xy}+z''_{yy}=

=f'_u+f'_u+xf''_u+y\cdot g''_u-2(f'_u+x\cdot f''_u+g'_u+y\cdot g''_u)+x\cdot f''_u+g'_u+g'_u+y\cdot g''_u=

=f'_u+f'_u+xf''_u+y\cdot g''_u-2f'_u-2x\cdot f''_u-2g'_u-2y\cdot g''_u+x\cdot f''_u+g'_u+g'_u+y\cdot g''_u=

=0

קיבלנו אפס כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה