fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6511

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

y=f(x-at)+g(x+at)

גזירה. a פרמטר.

הוכיחו את המשוואה:

y''_{tt}=a^2y''_{xx}

הוכחה

נגדיר:

u=x-at

v=x+at

קיבלנו את הפונקציה:

y=f(u)+g(v)

ואת הפונקציות הפנימיות:

u(x,t)=x-at

v(y,t)=x+at

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של y. נחשב את הנגזרת לפי t:

y'_t=f'_u\cdot u'_t+g'_v\cdot v'_t=

=f'_u\cdot (-a)+g'_v\cdot a

=-af'_u+ag'_v

נחשב את הנגזרת השנייה:

y''_{tt}=-a\cdot f''_u\cdot u'_t+ag''_v\cdot v'_t=

=-af''_u\cdot (-a)+ag''_v\cdot a=

=a^2f''_u+a^2g''_v

נחשב את הנגזרת לפי x:

y'_x=f'_u\cdot u'_x+g'_v\cdot v'_x=

=f'_u\cdot 1+g'_v\cdot 1=

=f'_u+g'_v

נחשב את הנגזרת השנייה:

y''_{xx}=f''_u\cdot u'_x+g''_v\cdot v'_x

f''_u\cdot 1+g''_v\cdot 1=

=f''_u+g''_v

נציב את הנגזרות השניות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

y''_{tt}=a^2f''_u+a^2g''_v=

=a^2(f''_u+g''_v)=

=a^2y''_{xx}

הגענו לאגף ימין כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה