fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6801

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

u=f(\frac{y}{x},\frac{y}{z})+\frac{xy}{z}

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

xu'_x+yu'_y+zu'_z=\frac{xy}{z}

הוכחה

נגדיר:

v=\frac{y}{x}

w=\frac{y}{z}

קיבלנו את הפונקציה:

u=f(v,w)+\frac{xy}{z}

ואת הפונקציות הפנימיות:

v(x,y)=\frac{y}{x}

w(y,z)=\frac{y}{z}

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של u. נחשב את הנגזרת לפי x:

u'_x=f'_v\cdot v'_x+f'_w\cdot w'_x+\frac{y}{z}=

=f'_v\cdot (-\frac{y}{x^2})+f'_w\cdot 0+\frac{y}{z}=

=-\frac{y}{x^2}f'_v+\frac{y}{z}

נחשב את הנגזרת לפי y:

u'_y=f'_v\cdot v'_y+f'_w\cdot w'_y+\frac{x}{z}=

=f'_v\cdot \frac{1}{x}+f'_w\cdot \frac{1}{z}+\frac{x}{z}=

=\frac{1}{x}f'_v + \frac{1}{z}f'_w+\frac{x}{z}

נחשב את הנגזרת לפי z:

u'_z=f'_v\cdot v'_z+f'_w\cdot w'_z-\frac{xy}{z^2}=

=f'_v\cdot 0+f'_w\cdot (-\frac{y}{z^2})-\frac{xy}{z^2}=

=-\frac{y}{z^2}f'_w-\frac{xy}{z^2}

נציב את הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

xu'_x+yu'_y+zu'_z=

=x(-\frac{y}{x^2}f'_v+\frac{y}{z})+y(\frac{1}{x}f'_v + \frac{1}{z}f'_w+\frac{x}{z})+z(-\frac{y}{z^2}f'_w-\frac{xy}{z^2})=

=-\frac{y}{x}f'_v+\frac{xy}{z}+\frac{y}{x}f'_v+\frac{y}{z}f'_w+\frac{xy}{z}-\frac{y}{z}f'_w-\frac{xy}{z}=

=\frac{xy}{z}

קיבלנו את אגף ימין כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה