fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6504

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

u=f(x-y,y-z,z-x)

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

u'_x+u'_y+u'_z=0

הוכחה

נגדיר:

v=x-y

w=y-z

k=z-x

קיבלנו את הפונקציה:

u=f(v,w,k)

ואת הפונקציות הפנימיות:

v(x,y)=x-y

w(y,z)=y-z

k(z,x)=z-x

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של u:

u'_x=f'_v\cdot v'_x+f'_w\cdot w'_x+f'_k\cdot k'_x=

=f'_v\cdot 1+f'_w\cdot 0+f'_k\cdot (-1)=

=f'_v-f'_k

u'_y=f'_v\cdot v'_y+f'_w\cdot w'_y+f'_k\cdot k'_y=

=f'_v\cdot (-1)+f'_w\cdot 1+f'_k\cdot 0=

=f'_w-f'_v

u'_z=f'_v\cdot v'_z+f'_w\cdot w'_z+f'_k\cdot k'_z=

=f'_v\cdot 0+f'_w\cdot (-1)+f'_k\cdot 1=

=f'_k-f'_w

קיבלנו את השוויונים:

u'_x=f'_v-f'_k

u'_y=f'_w-f'_v

u'_z=f'_k-f'_w

נציב את הנגזרות במשוואה שצריך להוכיח:

u'_x+u'_y+u'_z=

=f'_v-f'_k+f'_w-f'_v+f'_k-f'_w=

=0

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה