fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6498

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

z=\frac{y}{f(x^2-y^2)}

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

\frac{1}{x}\cdot z'_x+\frac{1}{y}\cdot z'_y=\frac{z}{y^2}

הוכחה

נגדיר:

u=x^2-y^2

קיבלנו את הפונקציה:

z=\frac{y}{f(u)}=\frac{y}{f}

ואת הפונקציה הפנימית:

u(x,y)=x^2-y^2

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z. נחשב את הנגזרת לפי x:

z'_x=z'_f\cdot f'_u\cdot u'_x=

=y\cdot \frac{-1}{f^2(u)}\cdot f'_u\cdot 2x=

=\frac{-2xyf'_u}{f^2(u)}

נחשב את הנגזרת לפי y. כאן נצטרך להשתמש גם בכלל המנה:

z'_y=\frac{1\cdot f(u)-y\cdot f'_u\cdot u'_y}{f^2(u)}=

=\frac{1}{f(u)}+\frac{2y^2f'_u}{f^2(u)}

נציב את הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

\frac{1}{x}\cdot z'_x+\frac{1}{y}\cdot z'_y=

=\frac{1}{x}\cdot \frac{-2xyf'_u}{f^2(u)}+\frac{1}{y}\cdot (\frac{1}{f(u)}+\frac{2y^2f'_u}{f^2(u)})=

=\frac{-2yf'_u}{f^2(u)}+\frac{1}{yf(u)}+\frac{2yf'_u}{f^2(u)}=

=\frac{1}{yf(u)}

נציב את הנגזרות באגף ימין של המשוואה שצריך להוכיח:

\frac{z}{y^2}=\frac{\frac{y}{f(u)}}{y^2}=

=\frac{y}{f(u)}\cdot\frac{1}{y^2}=\frac{1}{yf(u)}

קיבלנו את אותה התוצאה בשני האגפים כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה