fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6509

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

u=\frac{xy}{z}\ln x+xf(\frac{y}{x},\frac{z}{x})

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

xu'_x+yu'_y+zu'_z=u+\frac{xy}{z}

הוכחה

נגדיר:

v=\frac{y}{x}

w=\frac{z}{x}

קיבלנו את הפונקציה:

u=\frac{xy}{z}\ln x+xf(v,w)=\frac{xy}{z}\ln x+xf

ואת הפונקציות הפנימיות:

v(x,y)=\frac{y}{x}

w(x,z)=\frac{z}{x}

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של u. נחשב את הנגזרת לפי x:

u'_x=\frac{y}{z}\ln x+\frac{xy}{z}\cdot\frac{1}{x}+1\cdot f+x\cdot f'_x=

=\frac{y}{z}(\ln x+1)+f+x(f'_v\cdot v'_x+f'_w\cdot w'_x)=

=\frac{y}{z}(\ln x+1)+f+x(f'_v\cdot (-\frac{y}{x^2})+f'_w\cdot (-\frac{z}{x^2}))=

=\frac{y}{z}(\ln x+1)+f-\frac{y}{x}f'_v-\frac{z}{x}f'_w

נחשב את הנגזרת לפי y:

u'_y=\frac{x}{z}\ln x+x\cdot f'_y=

=\frac{x\ln x}{z}+x(f'_v\cdot v'_y+f'_w\cdot w'_y)=

=\frac{x\ln x}{z}+xf'_v\cdot \frac{1}{x}+0=

=\frac{x\ln x}{z}+f'_v

נחשב את הנגזרת לפי z:

u'_z=-\frac{xy}{z^2}\ln x+x\cdot f'_z=

=-\frac{xy}{z^2}\ln x+x(f'_v\cdot v'_z+f'_w\cdot w'_z)=

=-\frac{xy}{z^2}\ln x+0+xf'_w\cdot\frac{1}{x}=

=-\frac{xy}{z^2}\ln x+f'_w

נציב את הנגזרות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

xu'_x+yu'_y+zu'_z=

=x(\frac{y}{z}(\ln x+1)+f-\frac{y}{x}f'_v-\frac{z}{x}f'_w)+y(\frac{x\ln x}{z}+f'_v)+z(-\frac{xy}{z^2}\ln x+f'_w)=

=\frac{xy}{z}(\ln x+1)+xf-yf'_v-zf'_w+\frac{xy\ln x}{z}+yf'_v-\frac{xy}{z}\ln x+zf'_w=

=\frac{xy}{z}(\ln x+1)+xf+\frac{xy\ln x}{z}-\frac{xy}{z}\ln x=

=\frac{xy}{z}\ln x+\frac{xy}{z}+xf+\frac{xy\ln x}{z}-\frac{xy}{z}\ln x=

=\frac{xy}{z}+xf+\frac{xy\ln x}{z}=

=\frac{xy}{z}+u

קיבלנו את אגף ימין כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה