fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6522

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

z=xf(\frac{y}{x})+g(\frac{y}{x})

גזירה.

הוכיחו את המשוואה:

x^2z''_{xx}+2xyz''_{xy}+y^2z''_{yy}=0

הוכחה

נגדיר:

u=\frac{y}{x}

קיבלנו את הפונקציה:

z=xf(u)+g(u)

ואת הפונקציה הפנימית:

u(x,y)=\frac{y}{x}

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z. נחשב את הנגזרת לפי x:

z'_x=1\cdot f+x\cdot f'_u\cdot u'_x+g'_u\cdot u'_x=

=f+x\cdot f'_u\cdot (-\frac{y}{x^2})+g'_u\cdot (-\frac{y}{x^2})=

=f-\frac{y}{x}\cdot f'_u-\frac{y}{x^2}\cdot g'_u

נחשב את הנגזרת השנייה לפי x:

z''_{xx}=f'_u\cdot u'_x+f'_u+x\cdot f''_u\cdot u'_x+y\cdot g''_u\cdot u'_x=

=f'_u\cdot u'_x-(-\frac{y}{x^2}\cdot f'_u+\frac{y}{x}\cdot f''_u\cdot u'_x)-(-\frac{y}{x^2}\cdot 2x\cdot g'_u+\frac{y}{x^2}\cdot g''_u\cdot u'_x)=

=-\frac{y}{x^2}\cdot f'_u+\frac{y}{x^2}\cdot f'_u+\frac{y}{x}\cdot\frac{y}{x^2}\cdot f''_u+\frac{2xy}{x^4}\cdot g'_u+\frac{y^2}{x^4}\cdot g''_u

=\frac{y}{x}\cdot\frac{y}{x^2}\cdot f''_u+\frac{2xy}{x^4}\cdot g'_u+\frac{y^2}{x^4}\cdot g''_u

נחשב את הנגזרת השנייה לפי y:

z''_{xy}=f'_u\cdot u'_y-(\frac{1}{x}\cdot f'_u+\frac{y}{x}\cdot f''_u\cdot u'_y)-(\frac{1}{x^2}\cdot g'_u+\frac{y}{x^2}\cdot g''_u\cdot u'_y)=

=\frac{1}{x}\cdot f'_u-\frac{1}{x}\cdot f'_u-\frac{y}{x^2}\cdot f''_u-\frac{1}{x^2}\cdot g'_u-\frac{y}{x^3}\cdot g''_u=

=-\frac{y}{x^2}\cdot f''_u-\frac{1}{x^2}\cdot g'_u-\frac{y}{x^3}\cdot g''_u

נחשב את הנגזרת לפי y:

z'_y=x\cdot f'_u\cdot u'_y+g'_u\cdot u'_y=

=x\cdot f'_u\cdot \frac{1}{x}+g'_u\cdot\frac{1}{x}=

=f'_u+\frac{1}{x}\cdot g'_u

נחשב את הנגזרת השנייה לפי y:

z''_{yy}=f''_u\cdot u'_y+\frac{1}{x}\cdot g''_u\cdot u'_y=

=\frac{1}{x}\cdot f''_u+\frac{1}{x^2}\cdot g''_u

נציב את הנגזרות השניות באגף שמאל של המשוואה שצריך להוכיח:

x^2z''_{xx}+2xyz''_{xy}+y^2z''_{yy}=

=x^2(\frac{y}{x}\cdot\frac{y}{x^2}\cdot f''_u+\frac{2xy}{x^4}\cdot g'_u+\frac{y^2}{x^4}\cdot g''_u)+2xy(-\frac{y}{x^2}\cdot f''_u-\frac{1}{x^2}\cdot g'_u-\frac{y}{x^3}\cdot g''_u)+y^2(\frac{1}{x}\cdot f''_u+\frac{1}{x^2}\cdot g''_u)=

=\frac{y^2}{x}\cdot f''_u+\frac{2y}{x}\cdot g'_u+\frac{y^2}{x^2}\cdot g''_u-\frac{2y^2}{x}\cdot f''_u-\frac{2y}{x}\cdot g'_u-\frac{2y^2}{x^2}\cdot g''_u+\frac{y^2}{x}\cdot f''_u+\frac{y^2}{x^2}\cdot g''_u=

=0

קיבלנו אפס כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה