fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

כלל שרשרת במספר משתנים – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6493

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

w=f(x+at, y+bt)

גזירה. a,b פרמטרים.

הוכיחו את המשוואה:

w'_t=aw'_x+bw'_y

הוכחה

נגדיר:

u=x+at

v=y+bt

קיבלנו את הפונקציה:

w=f(u,v)

ואת הפונקציות הפנימיות:

u(x,t)=x+at

v(y,t)=y+bt

נשתמש בכלל השרשרת, כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של w:

w'_t=f'_u\cdot u'_t+f'_v\cdot v'_t=

=f'_u\cdot a+f'_v\cdot b

w'_x=f'_u\cdot u'_x+f'_v\cdot v'_x=

=f'_u\cdot 1+f'_v\cdot 0=

=f'_u

w'_y=f'_u\cdot u'_y+f'_v\cdot v'_y=

=f'_u\cdot 0+f'_v\cdot 1=

=f'_v

קיבלנו את השוויונים:

w'_t=f'_u\cdot a+f'_v\cdot b

w'_x=f'_u

w'_y=f'_v

נציב את שני השוויונים האחרונים בשוויון הראשון ונקבל:

w'_t=w'_x\cdot a+w'_y\cdot b

נסדר ונקבל את המשוואה שצריך להוכיח:

w'_t=aw'_x+bw'_y

כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה