fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6579

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{8^x}{{(4+\frac{2}{x})}^{\frac{3x}{2}}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{8^x}{{(4+\frac{2}{x})}^{\frac{3x}{2}}}=e^{-\frac{3}{4}}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{8^\infty}{{(4+\frac{2}{\infty})}^{\frac{3\infty}{2}}}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נסדר את הביטוי בעזרת חוקי חזקות ושורשים ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{8^x}{{(4+\frac{2}{x})}^{\frac{3x}{2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{3x}}{{(4(1+\frac{2}{4x}))}^{\frac{3x}{2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{3x}}{{(2^2)}^{\frac{3x}{2}}{(1+\frac{1}{2x})}^{\frac{3x}{2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{3x}}{2^{3x}{(1+\frac{1}{2x})}^{\frac{3x}{2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{{(1+\frac{1}{2x})}^{\frac{3x}{2}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{2x})}^{-\frac{3x}{2}}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

={(1+\frac{1}{2\infty})}^{-\frac{3\infty}{2}}=1^{-\infty}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נשתמש בגבול אוילר. יש לנו בבסיס ביטוי מהצורה:

1+\frac{1}{2x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{2x}= 0

כנדרש.

נכפול את החזקה באיבר ההופכי ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{2x})}^{2x\cdot\frac{1}{2x}\cdot (-\frac{3x}{2})}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{2x})}^{2x}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{1}{2x}\cdot (-\frac{3x}{2})=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{-3x}{4x}=

=-\frac{3}{4}

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{2x})}^{2x\cdot\frac{1}{2x}\cdot (-\frac{3x}{2})}=

=e^{-\frac{3}{4}}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה