fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מכפלה של פונקציות עם ln – תרגיל 6587

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln (1+2^x)\ln (1+\frac{3}{x})

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln (1+2^x)\ln (1+\frac{3}{x})=3\ln 2

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\ln (1+2^\infty)\ln (1+\frac{3}{\infty})=\infty\cdot 0

קיבלנו את המצב “שואף לאינסוף כפול שואף לאפס”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נסדר את הביטוי בעזרת חוקי לוגריתמים ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln (1+2^x)\ln (1+\frac{3}{x})=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \ln {(1+\frac{3}{x})}^{\ln (1+2^x)}=

=\ln \lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{3}{x})}^{\ln (1+2^x)}=

הערה: אפשר להכניס את הגבול, כי פונקציית ln היא פונקציה רציפה.

נשתמש בגבול אוילר. יש לנו בבסיס ביטוי מהצורה:

1+\frac{3}{x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{3}{x}= 0

כנדרש.

נכפול את החזקה באיבר ההופכי ונקבל:

=\ln \lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{3}{x})}^{\frac{x}{3}\cdot\frac{3}{x}\cdot\ln (1+2^x)}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{3}{x})}^{\frac{x}{3}}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{3}{x}\cdot\ln (1+2^x)=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{3\ln (1+2^x)}{x}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{3\ln (1+2^\infty)}{\infty}=\frac{\infty}{\infty}

קיבלנו “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=3\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{1+2^x}\cdot 2^x\cdot\ln 2}{1}=

=3\ln 2\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{2^x}{1+2^x}=

הצבה עדיין נותנת “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”, לכן נחלק מונה ומכנה באיבר:

2^x

ונקבל:

=3\ln 2\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{1}{\frac{1}{2^x}+1}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=3\ln 2\cdot\frac{1}{\frac{1}{2^\infty}+1}=

=3\ln 2\cdot\frac{1}{\frac{1}{\infty}+1}=

=3\ln 2\cdot\frac{1}{0+1}=

=3\ln 2

לכן, סה”כ מקבלים:

=\ln \lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{3}{x})}^{\frac{x}{3}\cdot\frac{3}{x}\cdot\ln (1+2^x)}=

=\ln e^{3\ln 2}=

=3\ln 2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה