איך ללמוד ולהצליח בקורס חדו"א?

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6556

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{4^{-x}-5^{-x}}{2^{-x}-3^{-x}}

תשובה סופית

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{4^{-x}-5^{-x}}{2^{-x}-3^{-x}}=0

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

\frac{4^{-\infty}-5^{-\infty}}{2^{-\infty}-3^{-\infty}}=\frac{0-0}{0-0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף. נוציא גורם משותף זהה מהמונה ומהמכנה (כדי לצמצם אותו אחר כך). נבחר את הגורם שצמצומו ישאיר אותנו רק עם איברים השואפים לאפס. מכיוון שהחזקה היא מינוס x (ולכן מקבלים מינוס אינסוף), נרצה שהבסיסים יהיו מספרים הגדולים מ-1, כי אז נקבל ביטוי גדול מ-1 בחזקת מינוס אינסוף, והוא שואף לאפס. משיקולים אלו נקבל שכדאי לצמצם באיבר:

2^{-x}

כך מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}(2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x})}{2^{-x}(1-{(\frac{3}{2})}^{-x})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x}}{1-{(\frac{3}{2})}^{-x}}=

הערה: אם במקום לצמצם נחלק את המונה ואת המכנה באיבר הזה, נקבל את אותה התוצאה.

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(\frac{1}{2})}^{x}-{(\frac{2}{5})}^{x}}{1-{(\frac{2}{3})}^{x}}=

מכיוון שהבסיס קטן מ-1, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{3})}^x=0

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{5})}^x=0

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1}{2})}^x=0

לרשימה המלאה, לחצו כאן.

לכן, נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{0-0}{1-0}=

=\frac{0}{1}=

=0

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

לפוסט הזה יש 2 תגובות

  1. Amit Gavish אוניברסיטת תל אביב

    לדעתי יש כאן טעות בניסוח של הפתרון – לא חילקתם את המונה והמכנה אלא הוצאתם איבר משותף שרק אחרי הצטמצם. נכון?

    1. Hedva Online

      הניסוח תוקן כדי למנוע בלבול. שים לב ששתי הדרכים מובילות לאותה תוצאה.
      בהצלחה!

כתיבת תגובה