תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{4^{-x}-5^{-x}}{2^{-x}-3^{-x}}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x =\infty
ונקבל:
\frac{4^{-\infty}-5^{-\infty}}{2^{-\infty}-3^{-\infty}}=\frac{0-0}{0-0}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
יש לנו מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף. נוציא גורם משותף זהה מהמונה ומהמכנה (כדי לצמצם אותו אחר כך). נבחר את הגורם שצמצומו ישאיר אותנו רק עם איברים השואפים לאפס. מכיוון שהחזקה היא מינוס x (ולכן מקבלים מינוס אינסוף), נרצה שהבסיסים יהיו מספרים הגדולים מ-1, כי אז נקבל ביטוי גדול מ-1 בחזקת מינוס אינסוף, והוא שואף לאפס. משיקולים אלו נקבל שכדאי לצמצם באיבר:
2^{-x}
כך מקבלים:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}(2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x})}{2^{-x}(1-{(\frac{3}{2})}^{-x})}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x}}{1-{(\frac{3}{2})}^{-x}}=
הערה: אם במקום לצמצם נחלק את המונה ואת המכנה באיבר הזה, נקבל את אותה התוצאה.
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(\frac{1}{2})}^{x}-{(\frac{2}{5})}^{x}}{1-{(\frac{2}{3})}^{x}}=
מכיוון שהבסיס קטן מ-1, מתקיים:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{3})}^x=0
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{5})}^x=0
=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1}{2})}^x=0
לכן, נציב אינסוף ונקבל:
=\frac{0-0}{1-0}=
=\frac{0}{1}=
=0
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
לדעתי יש כאן טעות בניסוח של הפתרון – לא חילקתם את המונה והמכנה אלא הוצאתם איבר משותף שרק אחרי הצטמצם. נכון?
הניסוח תוקן כדי למנוע בלבול. שים לב ששתי הדרכים מובילות לאותה תוצאה.
בהצלחה!