הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6556

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{4^{-x}-5^{-x}}{2^{-x}-3^{-x}}

תשובה סופית

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{4^{-x}-5^{-x}}{2^{-x}-3^{-x}}=0

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

\frac{4^{-\infty}-5^{-\infty}}{2^{-\infty}-3^{-\infty}}=\frac{0-0}{0-0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

יש לנו מנה של פונקציות מעריכיות בשאיפה לאינסוף. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה באיבר ששואף הכי מהר לאינסוף, ללא המקדם. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}(2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x})}{2^{-x}(1-{(\frac{3}{2})}^{-x})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2^{-x}-{(\frac{5}{2})}^{-x}}{1-{(\frac{3}{2})}^{-x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{{(\frac{1}{2})}^{x}-{(\frac{2}{5})}^{x}}{1-{(\frac{2}{3})}^{x}}=

מכיוון שהבסיס קטן מ-1, מתקיים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{3})}^x=0

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{2}{5})}^x=0

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{1}{2})}^x=0

לרשימה המלאה, לחצו כאן.

לכן, נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{0-0}{1-0}=

=\frac{0}{1}=

=0

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה