fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – פונקציה עם ערך מוחלט – תרגיל 6601

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-1}^1 \frac{x^3+|x^3|}{x^2-4} dx

תשובה סופית


\int_{-1}^1 \frac{x^3+|x^3|}{x^2-4} dx=1+4\ln 3-8\ln 2

פתרון

\int_{-1}^1 \frac{x^3+|x^3|}{x^2-4} dx=

נפצל את האינטגרל לשני אינטגרלים:

=\int_{-1}^1 \frac{x^3}{x^2-4} dx+\int_{-1}^1 \frac{|x^3|}{x^2-4} dx=

נפטור את האינטגרל הראשון. מכיוון שהתחום של האינטגרל סימטרי סביב אפס, נבדוק אם הפונקציה אי-זוגית:

f(-x)=\frac{{(-x)}^3}{{(-x)}^2-4}=

=\frac{-x^3}{x^2-4}=

=-\frac{x^3}{x^2-4}=

=-f(x)

קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:

f(-x)=-f(x)

מכאן, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:

\int_{-1}^1 \frac{x^3}{x^2-4} dx=0

נפתור את האינטגרל השני. גם כאן נבדוק את זוגיות הפונקציה באינטגרל:

f(-x)=\frac{|-x|^3}{{(-x)}^2-4}=

=\frac{|x^3|}{x^2-4}=

=f(x)

קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:

f(-x)=f(x)

מכאן, הפונקציה זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר לפתור את האינטגרל רק על חצי מהתחום ולכפול את התוצאה ב-2:

=0+\int_{-1}^1 \frac{|x^3|}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 \frac{|x^3|}{x^2-4} dx=

כעת, לפי הגדרת הערך המוחלט, אפשר להיפטר ממנו ומקבלים:

=2\int_0^1 \frac{x^3}{x^2-4} dx=

נסדר את הפונקציה באינטגרל, כדי להגיע לאינטגרל מיידי:

=2\int_0^1 \frac{x^3-4x+4x}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 \frac{x(x^2-4)+4x}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 \frac{x(x^2-4)}{x^2-4} dx+2\int_0^1 \frac{4x}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 x dx+2\cdot 4\int_0^1 \frac{x-2+2}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 x dx+8\int_0^1 \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} dx+8\int_0^1 \frac{2}{x^2-4} dx=

=2\int_0^1 x dx+8\int_0^1 \frac{1}{x+2} dx+8\int_0^1 \frac{2}{(x-2)(x+2)} dx=

באינטגרל האחרון נשתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים ונקבל:

=2\int_0^1 x dx+8\int_0^1 \frac{1}{x+2} dx+8\cdot (-\frac{1}{2})\int_0^1 \frac{1}{x+2} dx+8\cdot \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{x-2} dx=

עכשיו אפשר לפתור את כל האינטגרלים, כי הם אינטגרלים מיידיים. נשתמש בנוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=2[\frac{x^2}{2}]_0^1+8[\ln|x+2|]_0^1-4[\ln|x+2|]_0^1+4[\ln|x-2|]_0^1=

=[x^2]_0^1+4[\ln|x+2|]_0^1+4[\ln|x-2|]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=[1^2-0^2]+4[\ln|1+2|-\ln|0+2|]+4[\ln|1-2|-\ln|0-2|]=

=1+4\ln(3)-4\ln(2)+4\ln|-1|-4\ln|-2|=

=1+4\ln(3)-4\ln(2)+0-4\ln|(2)=

=1+4\ln(3)-8\ln(2)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה