fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – חישוב שטח לפונקציה – תרגיל 6615

תרגיל 

חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:

y=\frac{x}{2}+3, x=2-y^2

תשובה סופית


S=36

פתרון

המשוואה:

x=2-y^2

אינה פונקציה. לכן, נסובב את התחום 90 מעלות במישור XY על ידי החלפת המשתנים x ו-y. נקבל את המשוואות:

x=\frac{y}{2}+3, y=2-x^2

התחום המקורי נראה כך:

תחום סגור במישור XY

ולאחר הסיבוב, הוא נראה כך:

תחום סגור במישור XY

כפי שאפשר לראות, שטח שני התחומים זהה. לכן, נחשב את השטח של התחום השני (לאחר הסיבוב).

נבודד את y במשוואת הישר:

x=\frac{y}{2}+3

2x=y+6

y=2x-6

נמצא את נקודות החיתוך בין הישר לפרבולה. לשם כך, נשווה בין הפונקציות:

2-x^2=2x-6

x^2+2x-8=0

קיבלנו משוואה ריבועית. נפתור אותה בעזרת נוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}=

=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}=

=\frac{-2\pm 6}{2}

מכאן, קיבלנו את הפתרונות:

x_1=\frac{-2+ 6}{2}=2

x_2=\frac{-2- 6}{2}=-4

מצאנו את נקודות החיתוך. הן יהיו גבולות האינטגרציה באינטגרל. לפי השרטוט, נציב את הפונקציות באינטגרל לחישוב השטח ונקבל:

S=\int_{-4}^2 2-x^2-(2x-6) dx=

=\int_{-4}^2 2-x^2-2x+6 dx=

=\int_{-4}^2 -x^2-2x+8 dx=

נפתור את האינטגרלים בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=[-\frac{x^3}{3}-2\cdot\frac{x^2}{2}+8x]_{-4}^2=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=-\frac{2^3}{3}-2\cdot\frac{2^2}{2}+8\cdot 2-(-\frac{{(-4)}^3}{3}-2\cdot\frac{{(-4)}^2}{2}+8\cdot(-4))=

=-\frac{8}{3}-4+16-(\frac{64^3}{3}-16-32)=

=-\frac{8}{3}-4+16-\frac{64^3}{3}+16+32=

=36

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה