fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – חישוב שטח לפולינום – תרגיל 6783

תרגיל 

חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:

y=x^3-3x^2+2x, y=0, x=-1, x=3

תשובה סופית


S=5

פתרון

הפונקציה:

y=x^3-3x^2+2x

היא פולינום ממעלה 3. נמצא את השורשים שלה:

y=x^3-3x^2+2x=

=x(x^2-3x+2)

נשתמש בנוסחת השורשים כדי לפרק לגורמים את המשוואה הריבועית שבסוגריים ונקבל:

=x(x-1)(x-2)

התחום נראה כך:

השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים, הפולינום בקו אדום והישרים בקווים כחולים.

רואים שהשטח המבוקש הוא סכום של 4 שטחים זרים. לכן, נחשב כל שטח באינטגרל נפרד ובסוף נחבר את כל התוצאות.

S=\int_{-1}^3 x^3-3x^2+2x dx=

=\int_{-1}^0 x^3-3x^2+2x dx +\int_{0}^1 x^3-3x^2+2x dx+

+\int_1^2 x^3-3x^2+2x dx+\int_2^3 x^3-3x^2+2x dx

נפתור כל אינטגרל בנפרד בעזרת נוסחאות אינטגרציה. נחשב את האינטגרל הראשון:

S_1=\int_{-1}^0 x^3-3x^2+2x dx=

=[\frac{x^4}{4}-3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}]_{-1}^0=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{0^4}{4}-3\cdot\frac{0^3}{3}+2\cdot\frac{0^2}{2}-(\frac{{(-1)}^4}{4}-3\cdot\frac{{(-1)}^3}{3}+2\cdot\frac{{(-1)}^2}{2})=

=0-0+0-(\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{2})=

=-\frac{1}{4}-3\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{1}{2}=

=-\frac{1}{4}-1-1=

=-2\frac{1}{4}

מכיוון שאנו מחשבים שטח, ושטח אינו יכול להיות שלילי, נעשה ערך מוחלט על התוצאה ונקבל שהשטח של התחום הראשון הוא

S_1=|-2\frac{1}{4}|=2\frac{1}{4}

נחשב את האינטגרל השני:

S_2=\int_0^1 x^3-3x^2+2x dx=

=[\frac{x^4}{4}-3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1^4}{4}-3\cdot\frac{1^3}{3}+2\cdot\frac{1^2}{2}-(\frac{0^4}{4}-3\cdot\frac{0^3}{3}+2\cdot\frac{0^2}{2})=

=\frac{1}{4}-3\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{2}-(0-0+0)=

=\frac{1}{4}-1+1=

=\frac{1}{4}

מכאן, השטח של התחום השני הוא

S_2=\frac{1}{4}

נחשב את האינטגרל השלישי:

S_3=\int_1^2 x^3-3x^2+2x dx=

=[\frac{x^4}{4}-3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}]_1^2=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{2^4}{4}-3\cdot\frac{2^3}{3}+2\cdot\frac{2^2}{2}-(\frac{1^4}{4}-3\cdot\frac{1^3}{3}+2\cdot\frac{1^2}{2})=

=\frac{16}{4}-3\cdot\frac{8}{3}+2\cdot\frac{4}{2}-\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{3}-2\cdot\frac{1}{2}=

=4-8+4-\frac{1}{4}+1-1=

=-\frac{1}{4}

מכיוון שאנו מחשבים שטח, ושטח אינו יכול להיות שלילי, נעשה ערך מוחלט על התוצאה ונקבל שהשטח של התחום השלישי הוא

S_3=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}

נחשב את האינטגרל הרביעי:

S_4=\int_2^3 x^3-3x^2+2x dx=

=[\frac{x^4}{4}-3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}]_2^3=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{3^4}{4}-3\cdot\frac{3^3}{3}+2\cdot\frac{3^2}{2}-(\frac{2^4}{4}-3\cdot\frac{2^3}{3}+2\cdot\frac{2^2}{2})=

=\frac{81}{4}-3\cdot\frac{27}{3}+2\cdot\frac{9}{2}-(\frac{16}{4}-3\cdot\frac{8}{3}+2\cdot\frac{4}{2})=

=20\frac{1}{4}-27+9-(4-8+4)=

=29\frac{1}{4}-27=

=2\frac{1}{4}

מכאן, השטח של התחום הרביעי הוא

S_4=2\frac{1}{4}

לבסוף, נסכום את כל התוצאות:

S=S_1+S_2+S_3+S_4=

=2\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2\frac{1}{4}=5

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה