fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – חישוב שטח בין פולינום לישר – תרגיל 6793

תרגיל 

חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:

y=x^3-3x+1, y=x+1

תשובה סופית


S=8

פתרון

נמצא את נקודות החיתוך בין הפולינום לישר. לשם כך, נשווה ביניהם ונקבל:

x^3-3x+1=x+1

x^3-4x=0

x(x^2-4)=0

x(x-2)(x+2)=0

מכאן, נקודות החיתוך הן

x=-2, x=0, x=2

התחום נראה כך:

השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים, הפולינום בקו אדום והישר בקו כחול.

רואים שהשטח המבוקש הוא סכום של 2 שטחים זרים. לכן, נחשב כל שטח באינטגרל נפרד ובסוף נחבר את התוצאות.

S=S_1+S_2

נפתור כל אינטגרל בנפרד בעזרת נוסחאות אינטגרציה. נחשב את האינטגרל הראשון:

S_1=\int_{-2}^0 x^3-3x+1-(x+1) dx=

=\int_{-2}^0 x^3-4x dx=

=[\frac{x^4}{4}-4\cdot\frac{x^2}{2}]_{-2}^0=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{0^4}{4}-4\cdot\frac{0^2}{2}-(\frac{{(-2)}^4}{4}-4\cdot\frac{{(-2)}^2}{2})=

=0-0-(\frac{16}{4}-4\cdot\frac{4}{2})=

=-\frac{16}{4}+4\cdot\frac{4}{2}=

=-4+4\cdot 2=

=4

הערה: אם מחסרים את הפונקציות באינטגרל בסדר הפוך, מקבלים את אותה התוצאה בסימן הפוך, כלומר שלילי. במקרה כזה, נעשה ערך מוחלט על התוצאה ונקבל שטח חיובי כנדרש.

נחשב את האינטגרל השני:

S_2=\int_0^2 x+1-(x^3-3x+1) dx=

=\int_0^2 x+1-(x^3-3x+1) dx=

=\int_0^2 -x^3+4x dx=

= [-\frac{x^4}{4}+4\cdot\frac{x^2}{2}]_0^2=

נציב את גבולות האינטגרציה:

= -\frac{2^4}{4}+4\cdot\frac{2^2}{2}-(-\frac{0^4}{4}+4\cdot\frac{0^2}{2})=

= -\frac{16}{4}+4\cdot\frac{4}{2}-(-0+0)=

=-4+4\cdot 2=

=4

מכאן, השטח של התחום השני הוא

S_2=4

לבסוף, נסכום את התוצאות:

S=S_1+S_2=

=4+4=8

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה