תרגיל
חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:
y = x 3 − 3 x + 1 , y = x + 1 y=x^3-3x+1, y=x+1 y = x 3 − 3 x + 1 , y = x + 1
תשובה סופית
הצגת תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את נקודות החיתוך בין הפולינום לישר. לשם כך, נשווה ביניהם ונקבל:
x 3 − 3 x + 1 = x + 1 x^3-3x+1=x+1 x 3 − 3 x + 1 = x + 1
x 3 − 4 x = 0 x^3-4x=0 x 3 − 4 x = 0
x ( x 2 − 4 ) = 0 x(x^2-4)=0 x ( x 2 − 4 ) = 0
נפרק בעזרת נוסחת כפל מקוצר
x ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 x(x-2)(x+2)=0 x ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0
מכאן, נקודות החיתוך הן
x = − 2 , x = 0 , x = 2 x=-2, x=0, x=2 x = − 2 , x = 0 , x = 2
התחום נראה כך:
השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים, הפולינום בקו אדום והישר בקו כחול.
רואים שהשטח המבוקש הוא סכום של 2 שטחים זרים. לכן, נחשב כל שטח באינטגרל נפרד ובסוף נחבר את התוצאות.
S = S 1 + S 2 S=S_1+S_2 S = S 1 + S 2
נפתור כל אינטגרל בנפרד בעזרת נוסחאות אינטגרציה
S 1 = ∫ − 2 0 x 3 − 3 x + 1 − ( x + 1 ) d x = S_1=\int_{-2}^0 x^3-3x+1-(x+1) dx= S 1 = ∫ − 2 0 x 3 − 3 x + 1 − ( x + 1 ) d x =
= ∫ − 2 0 x 3 − 4 x d x = =\int_{-2}^0 x^3-4x dx= = ∫ − 2 0 x 3 − 4 x d x =
= [ x 4 4 − 4 ⋅ x 2 2 ] − 2 0 = =[\frac{x^4}{4}-4\cdot\frac{x^2}{2}]_{-2}^0= = [ 4 x 4 − 4 ⋅ 2 x 2 ] − 2 0 =
זהו אינטגרל מסוים
= 0 4 4 − 4 ⋅ 0 2 2 − ( ( − 2 ) 4 4 − 4 ⋅ ( − 2 ) 2 2 ) = =\frac{0^4}{4}-4\cdot\frac{0^2}{2}-(\frac{{(-2)}^4}{4}-4\cdot\frac{{(-2)}^2}{2})= = 4 0 4 − 4 ⋅ 2 0 2 − ( 4 ( − 2 ) 4 − 4 ⋅ 2 ( − 2 ) 2 ) =
= 0 − 0 − ( 16 4 − 4 ⋅ 4 2 ) = =0-0-(\frac{16}{4}-4\cdot\frac{4}{2})= = 0 − 0 − ( 4 1 6 − 4 ⋅ 2 4 ) =
= − 16 4 + 4 ⋅ 4 2 = =-\frac{16}{4}+4\cdot\frac{4}{2}= = − 4 1 6 + 4 ⋅ 2 4 =
= − 4 + 4 ⋅ 2 = =-4+4\cdot 2= = − 4 + 4 ⋅ 2 =
= 4 =4 = 4
הערה: אם מחסרים את הפונקציות באינטגרל בסדר הפוך, מקבלים את אותה התוצאה בסימן הפוך, כלומר שלילי. במקרה כזה, נעשה ערך מוחלט
נחשב את האינטגרל השני:
S 2 = ∫ 0 2 x + 1 − ( x 3 − 3 x + 1 ) d x = S_2=\int_0^2 x+1-(x^3-3x+1) dx= S 2 = ∫ 0 2 x + 1 − ( x 3 − 3 x + 1 ) d x =
= ∫ 0 2 x + 1 − ( x 3 − 3 x + 1 ) d x = =\int_0^2 x+1-(x^3-3x+1) dx= = ∫ 0 2 x + 1 − ( x 3 − 3 x + 1 ) d x =
= ∫ 0 2 − x 3 + 4 x d x = =\int_0^2 -x^3+4x dx= = ∫ 0 2 − x 3 + 4 x d x =
= [ − x 4 4 + 4 ⋅ x 2 2 ] 0 2 = = [-\frac{x^4}{4}+4\cdot\frac{x^2}{2}]_0^2= = [ − 4 x 4 + 4 ⋅ 2 x 2 ] 0 2 =
נציב את גבולות האינטגרציה:
= − 2 4 4 + 4 ⋅ 2 2 2 − ( − 0 4 4 + 4 ⋅ 0 2 2 ) = = -\frac{2^4}{4}+4\cdot\frac{2^2}{2}-(-\frac{0^4}{4}+4\cdot\frac{0^2}{2})= = − 4 2 4 + 4 ⋅ 2 2 2 − ( − 4 0 4 + 4 ⋅ 2 0 2 ) =
= − 16 4 + 4 ⋅ 4 2 − ( − 0 + 0 ) = = -\frac{16}{4}+4\cdot\frac{4}{2}-(-0+0)= = − 4 1 6 + 4 ⋅ 2 4 − ( − 0 + 0 ) =
= − 4 + 4 ⋅ 2 = =-4+4\cdot 2= = − 4 + 4 ⋅ 2 =
= 4 =4 = 4
מכאן, השטח של התחום השני הוא
S 2 = 4 S_2=4 S 2 = 4
לבסוף, נסכום את התוצאות:
S = S 1 + S 2 = S=S_1+S_2= S = S 1 + S 2 =
= 4 + 4 = 8 =4+4=8 = 4 + 4 = 8
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות
