תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases}4x^2, &\quad 1\leq x\leq 2\\ 3x, &\quad 2<x<3\\ 0, &\quad x\geq 3, x<1\\ \end{cases}
חשבו את האינטגרל:
\int_{-3}^5 xf(x) dx
תשובה סופית
פתרון מפורט
\int_{-3}^5 xf(x) dx=
מכיוון שהפונקציה מפוצלת בתחום של האינטגרל, צריך לפצל את האינטגרל:
=\int_{-3}^1 xf(x) dx+\int_1^2 xf(x) dx+\int_2^3 xf(x) dx+\int_3^5 xf(x) dx=
נציב את הפונקציה לפי תחום האינטגרל:
=\int_{-3}^1 x\cdot 0 dx+\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx+\int_3^5 x\cdot 0 dx=
האינטגרל הראשון והאינטגרל האחרון שווים לאפס, כי הפונקציה בתוך האינטגרלים היא אפס:
=0+\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx+0=
=\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx=
=\int_1^2 4x^3 dx+\int_2^3 3x^2 dx=
אלו אינטגרלים מיידיים. נפתור אותם בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:
=[\frac{4x^4}{4}]_1^2+[\frac{3x^3}{3}]_2^3=
=[x^4]_1^2+[x^3]_2^3=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=[2^4-1^4]+[3^3-2^3]=
=16-1+27-8=
=34
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
