fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – פונקציה מפוצלת – תרגיל 6448

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases}4x^2, &\quad 1\leq x\leq 2\\ 3x, &\quad 2<x<3\\ 0, &\quad x\geq 3, x<1\\ \end{cases}

חשבו את האינטגרל:

\int_{-3}^5 xf(x) dx

תשובה סופית


\int_{-3}^5 xf(x) dx=34

פתרון

\int_{-3}^5 xf(x) dx=

מכיוון שהפונקציה מפוצלת בתחום של האינטגרל, צריך לפצל את האינטגרל:

=\int_{-3}^1 xf(x) dx+\int_1^2 xf(x) dx+\int_2^3 xf(x) dx+\int_3^5 xf(x) dx=

נציב את הפונקציה לפי תחום האינטגרל:

=\int_{-3}^1 x\cdot 0 dx+\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx+\int_3^5 x\cdot 0 dx=

האינטגרל הראשון והאינטגרל האחרון שווים לאפס, כי הפונקציה בתוך האינטגרלים היא אפס:

=0+\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx+0=

=\int_1^2 x\cdot 4x^2 dx+\int_2^3 x\cdot 3x dx=

=\int_1^2 4x^3 dx+\int_2^3 3x^2 dx=

אלו אינטגרלים מיידיים. נפתור אותם בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=[\frac{4x^4}{4}]_1^2+[\frac{3x^3}{3}]_2^3=

=[x^4]_1^2+[x^3]_2^3=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=[2^4-1^4]+[3^3-2^3]=

=16-1+27-8=

=34

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה