fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 920

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} 1+x^{-\frac{a}{x}}, &\quad x>0\\ b, &\quad x = 0\\ {(1+a^2 x-9x)}^{\frac{1}{x}}, &\quad x<0\\ \end{cases}

a ו-b פרמטרים. עבור אלו ערכים של הפרמטרים הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


a=-3, b=1

פתרון

הפונקציות בשלושת הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =1+x^{-\frac{a}{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} 1+x^{-\frac{a}{x}}=

כשמנסים להציב את הנקודה x=0, רואים שהתוצאה תלויה בפרמטר a. לכן, נסדר את הביטוי בעזרת חוקי לוגריתמים:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} 1+e^{\ln x^{-\frac{a}{x}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} 1+e^{-\frac{a}{x} \ln x}=

נשתמש בחוקי גבולות ונפצל את הגבול לסכום של שני גבולות:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} 1+\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} e^{-\frac{a}{x} \ln x}=

=1+\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} e^{-\frac{a}{x} \ln x}=

נשתמש שוב בחוקי גבולות ונכניס את הגבול לחזקה:

=1+ e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} -\frac{a}{x} \ln x}=

נחשב את הגבול בחזקה, כלומר את הגבול:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} -\frac{a}{x} \ln x

ננסה להציב את הנקודה x=0 בגבול ונקבל שהתוצאה תלויה בפרמטר a. עבור a>0 נקבל:

-\frac{a}{0^{+}} \ln 0^{+}=-\infty \cdot -\infty =\infty

ואז בהצבה בגבול המקורי נקבל את התוצאה:

1+ e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} -\frac{a}{x} \ln x}=

=1+ e^{\infty}=\infty

תוצאה זו אינה עוזרת לנו, כי אנו מחפשים גבול סופי.

עבור a<0 נקבל:

-\frac{a}{0^{+}} \ln 0^{+}=\infty \cdot -\infty =-\infty

נציב את התוצאה בגבול המקורי ונקבל:

1+ e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} -\frac{a}{x} \ln x}=

=1+ e^{-\infty}=1+0=1

הערה: שימו לב שהאפסים בהצבות אינם מוחלטים אלא מייצגים מספרים השואפים לאפס, ולכן הביטויים ניתנים לחישוב.

מכאן, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=0, הפרמטר a חייב להיות שלילי. וכן, צריך שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה, לכן נדרוש:

f(0)=b=1

ומקבלים את הערך היחיד של פרמטר b שיכול להניב פונקציה רציפה:

b=1

נעבור לחישוב הגבול החד-צדדי משמאל. כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = {(1+a^2 x-9x)}^{\frac{1}{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} {(1+a^2 x-9x)}^{\frac{1}{x}}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} e^{\ln {(1+a^2 x-9x)}^{\frac{1}{x}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{1}{x} \ln {(1+a^2 x-9x)}}=

נשתמש בחוקי גבולות ונכניס את הגבול לחזקה:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \ln {(1+a^2 x-9x)}}

נחשב את הגבול בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \ln (1+a^2 x-9x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{ \ln (1+a^2 x-9x)}{x}=

הצבה נותנת ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נשתמש בכלל לופיטל כדי לצאת ממצב זה – נגזור את המונה ואת המכנה:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{ \frac{1}{1+a^2 x-9x}(a^2-9)}{1}=

נסדר את הגבול:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{a^2-9}{1+a^2 x-9x}=

נציב שוב את הנקודה:

=\frac{a^2-9}{1}=a^2-9

נציב את התוצאה בגבול המקורי ונקבל:

e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \ln {(1+a^2 x-9x)}}=

=e^{a^2-9}

כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=0, נדרוש שהגבול יהיה שווה לגבול החד-צדדי השני ולערך הפונקציה בנקודה, והם שווים לאחד. לכן, נשווה גם את הגבול הזה לאחד:

e^{a^2-9}=1

נפתור את המשוואה. מהמשוואה נובע:

a^2-9=0

a^2=9

מצאנו לעיל שהפונקציה יכולה להיות רציפה רק עבור a<0, לכן מקבלים:

a=-3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה