fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 898

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+ax^2+bx+c}{{(x+1)}^2}, &\quad x \neq -1\\ -3, &\quad x = -1\\ \end{cases}

a, b, c פרמטרים. מצאו ערכים לפרמטרים שעבורם הפונקציה רציפה.

תשובה סופית


a=0, b=-3, c=-2

פתרון

הפונקציות בשני הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות (מנה של פולינומים ופונקציה קבועה), לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=-1

כדי שהפונקציה תהיה רציפה צריכים ששני הגבולות החד-צדדיים לנקודה x=-1 יהיו שווים לערך הפונקציה בנקודה:

f(-1)=-3

כלומר, שני הגבולות צריכים להיות שווים ל-(3-).

שימו לב שאין צורך לחשב את הגבול מימין בנפרד ואין הגבול משמאל בנפרד, משום שהפונקציה זהה בשני הכיוונים. לכן, מספיק לחשב פעם אחת גבול (רגיל):

\lim _ { x \rightarrow -1} \frac{x^3+ax^2+bx+c}{{(x+1)}^2}

ננסה להציב את הנקודה x=-1. במכנה נקבל ‘שואף לאפס’ – מקרה אי-ודאות. לעומת זאת, במונה אי-אפשר לדעת בוודאות בגלל הפרמטרים. יש 3 אפשרויות: מספר סופי, מספר אינסופי (אינסוף או מינוס אינסוף) או ‘שואף לאפס’. נבחן את האפשרויות:

מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאפס נותן אינסוף, ולכן הוא לא מעניין אותנו (כי אנחנו רוצים את המספר 3-).

מספר אינסופי חלקֵי ‘שואף לאפס’ נשאר עדיין מספר אינסופי, ולכן גם הוא לא מעניין אותנו. 

מכאן, רק האפשרות השלישית – ‘שואף לאפס’ במונה – יכול לתת גבול סופי, ואם יצא לנו שהגבול שווה 3-, אז נקבל פונקציה רציפה 🙂

מתי נקבל במונה אפס (או ליתר דיוק ‘שואף לאפס’)? במונה יש פולינום ופולינום שווה לאפס רק בשורשים שלו. לכן, נניח שהנקודה x=-1 היא שורש של הפולינום, כלומר נציב אותה בפולינום ונשווה לאפס:

(-)1^3+a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c=

=-1+a-b+c=0

קיבלנו משוואה עם שלושה הפרמטרים. נצטרך עוד שתי משוואות כדי לקבל ערך יחיד עבור כל הפרמטרים. 

מכיוון שאנו במקרה אי-ודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’, נוכל להשתמש בכלל לופיטל – נגזור את המונה ואת המכנה ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow -1} \frac{x^3+ax^2+bx+c}{{(x+1)}^2}=

=\lim _ { x \rightarrow -1} \frac{3x^2+2ax+b}{2(x+1)}=

ננסה להציב x=-1 שוב, ונקבל ‘שואף לאפס’ במכנה ונרצה לקבל ‘שואף לאפס’ גם במונה, כי אז יתקבל המצב היחיד שיכול להניב גבול סופי, כמו לעיל. לכן, גם כאן נניח שהנקודה x=-1 היא שורש של הפולינום במונה. ואם היא שורש, אז הצבה שלו בפולינום ייתן אפס. נעשה זאת – נציב ונשווה לאפס:

3\cdot (-1)^2+2a\cdot (-1)+b=0

3-2a+b=0

נשתמש שוב בכלל לופיטל (כי אנו מניחים שאנו במצב אי-ודאות ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’) – נגזור שוב את המונה ואת המכנה ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -1} \frac{6x+2a}{2}=

נציב שוב את הנקודה x=-1 והפעם נקבל:

=\frac{6\cdot (-1)+2a}{2}=-3+a

כדי שהפונקציה תהיה רציפה, הגבול צריך להיות שווה לערך הפונקציה בנקודה. אז נשווה ביניהם:

-3+a=f(-1)=-3

קיבלנו 3 משוואות בשלושה נעלמים:

-3+a=-3

3-2a+b=0

=-1+a-b+c=0

מהמשוואה הראשונה מקבלים:

a=0

נציב את התוצאה במשוואה השנייה ונקבל:

3-2\cdot 0+b=0

3+b=0

b=-3

נציב במשוואה השלישית ונקבל:

=-1+0-(-3)+c=0

2+c=0

c=-2

ואלה הערכים היחידים שנותנים גבול שווה ל-(3-). ולפי הגדרת הרציפות, מקבלים  פונקציה רציפה בנקודה x=-1 עבור ערכים אלו.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה