fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 891

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{2^x-1}{x}, &\quad x\neq 0 \\ c, &\quad x =0\\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


c=\ln 2

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נמצא את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{2^x-1}{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{2^x-1}{x}

נמצא את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.000001-) וגם שם נקבל את אותה הפונקציה:

f(x) = \frac{2^x-1}{x}

לכן הגבול מימין יהיה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{2^x-1}{x}

כלומר, אנחנו רואים שמתקבל אותו הגבול לחישוב מימין ומשמאל. לכן, אפשר לחסוך בעבודה ובמקום לחשב שני גבולות חד-צדדיים, נחשב גבול אחד רגיל:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{x}=

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{\ln 2^x}-1}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{x\cdot \ln 2}-1}{x}=

נשווה את המכנה לחזקה:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{e^{x\cdot \ln 2}-1}{x\cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{\ln 2}}=

נוציא מהגבול את המקדם המיותר במכנה:

 =\lim _ { x \rightarrow 0} \ln 2 \frac{e^{x\cdot \ln 2}-1}{x\cdot \ln 2}=

כעת, נציב בגבול את הביטוי:

 t=x\cdot \ln 2

ונקבל:

 =\lim _ { t \rightarrow 0} \ln 2 \frac{e^t-1}{t}=

כעת, נשתמש בגבול הידוע ונקבל:

 = \ln 2\cdot 1=\ln 2

קיבלנו גבול סופי. לכן, אם נגדיר את ערך הפונקציה בנקודה לתוצאת הגבול כך:

f(0) =c=\ln 2

נקבל, לפי הגדרת רציפות, פונקציה רציפה בנקודה אפס. ומשום שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת (כי הפונקציות מורכבות מפונקציות אלמנטריות), נקבל פונקציה רציפה בכל תחום הגדרתה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה