fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 884

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{e^{x^2}-1}{3x^2}, &\quad x\neq 0 \\ c, &\quad x =0\\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


c=\frac{1}{3}

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{e^{x^2}-1}{3x^2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x^2}-1}{3x^2}=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{3} \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=

נוציא את הקבוע מחוץ לגבול:

= \frac{1}{3} \lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=

נציב בגבול את הביטוי:

t=x^2

ונקבל:

= \frac{1}{3} \lim _ { t \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{t}-1}{t}=

ואז לפי הגבול הידוע נקבל:

= \frac{1}{3} \cdot 1= \frac{1}{3}

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.000001-) וגם שם נקבל את אותה הפונקציה:

f(x) = \frac{e^{x^2}-1}{3x^2}

כלומר, הגבול לחישוב הוא זהה, ולכן באופן דומה נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^{x^2}-1}{3x^2}=\frac{1}{3}

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים אחד לשני. לכן, אם נגדיר את ערך הפונקציה בנקודה לתוצאת הגבול כך:

f(0) =c=\frac{1}{3}

נקבל, לפי הגדרת רציפות, פונקציה רציפה בנקודה אפס. ומשום שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת (כי הפונקציות שמרכיבות אותה הן הרכבה של פונקציות אלמנטריות), נקבל פונקציה רציפה בכל תחום הגדרתה.

הערה: אפשר לזהות מראש שאין צורך בחישוב שני גבולות חד-צדדיים, אלא בגבול אחד רגיל, מהגדרת הפונקציה בשאלה. כאשר יש פונקציה אחת עבור x-ים מימין לנקודה ופונקציה אחרת עבור x-ים משמאל לנקודה, אז נאלץ לחשב שני גבולות חד-צדדיים שונים. אבל כאשר הפונקציה זהה משני הצדדים של הנקודה (ורואים זאת אם בהגדרה התחומים הם x שונה מהנקודה ו-x שווה לה), אז חישוב אחד יספיק.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה