fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 859

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+ax+b}{x-1}, &\quad x \neq 1\\ 4, &\quad x = 1\\ \end{cases}

a ו-b פרמטרים. מצאו ערכים לפרמטרים שעבורם הפונקציה רציפה.

תשובה סופית


a=2, b=-3

פתרון

הפונקציות בשני הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=1

כדי שהפונקציה תהיה רציפה צריכים ששני הגבולות החד-צדדיים לנקודה x=1 יהיו שווים לערך הפונקציה בנקודה:

f(1)=4

כלומר, שני הגבולות צריכים להיות שווים ל-4.

שימו לב שאין צורך לחשב את הגבול מימין בנפרד ואין הגבול משמאל בנפרד, משום שהפונקציה זהה בשני הכיוונים. לכן, מספיק לחשב פעם אחת גבול (רגיל):

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}

ננסה להציב את הנקודה x=1. במכנה נקבל ‘שואף לאפס’ – מקרה אי-ודאות. לעומת זאת, במונה אי-אפשר לדעת בוודאות בגלל הפרמטרים. יש 3 אפשרויות: מספר סופי, מספר אינסופי (אינסוף או מינוס אינסוף) או ‘שואף לאפס’. נבחן את האפשרויות:

מספר סופי חלקֵי מספר השואף לאפס נותן אינסוף, ולכן הוא לא מעניין אותנו (כי אנחנו רוצים את המספר 4).

מספר אינסופי חלקֵי ‘שואף לאפס’ נשאר עדיין מספר אינסופי, ולכן גם הוא לא מעניין אותנו. 

מכאן, רק האפשרות השלישית – ‘שואף לאפס’ במונה – יכול לתת גבול סופי, ואם יצא לנו שהגבול שווה 4, אז נקבל פונקציה רציפה 🙂

מתי נקבל במונה אפס (או ליתר דיוק ‘שואף לאפס’)? במונה יש פולינום ופולינום שווה לאפס רק בשורשים שלו. לכן, נניח שהנקודה x=1 היא שורש של הפולינום, כלומר נציב אותה בפולינום ונשווה לאפס:

=1^2+a\cdot 1+b=0

=1+a+b=0

קיבלנו משוואה עם שני הפרמטרים. נצטרך עוד משוואה אחת כדי לקבל ערך יחיד עבורם. 

עם ההנחה שהנקודה x=1 היא שורש של הפולינום, נבצע חילוק ארוך של הפולינום בגורם (x-1). תחת ההנחה הזו, החלוקה בגורם הנ”ל צריכה להיות ללא שארית. החילוק הארוך מניב את התוצאה:

x^2+ax+b=(x-1)(x+a+1)

נציב בגבול במקום הפולינום ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}=

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}=

\lim _ { x \rightarrow 1} x+a+1=

כעת, אנו רוצים שהגבול יהיה שווה ל-4. זו האפשרות היחידה שבה הפונקציה רציפה. לכן, נציב x=1 ונשווה לארבע:

1+a+1=4

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים:

=1+a+b=0

a+2=4

פתרון המשוואה השנייה הוא:

a=2

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

=1+2+b=0

b=-3

ואלה הערכים היחידים שנותנים גבול שווה ל-4. ולפי הגדרת הרציפות, מקבלים  פונקציה רציפה בנקודה x=1 עבור ערכים אלו.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה