fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – אי-רציפות מסדר שני – תרגיל 831

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(3x+7)-\ln(5x+e)}{x^2}, &\quad x>0\\ -10+x^3, &\quad x \leq 0\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית

לא. בנקודה 

x=0

יש נקודת אי-רציפות מסדר שני.

פתרון

הפונקציות בשני הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{\ln(3x+7) - \ln(5x+e)}{x^2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(3x+7) - \ln(5x+e)}{x^2}=

נציב בגבול את הנקודה ונקבל:

= \frac{\ln 7 - \ln e}{0^+}=\frac{\ln 7 - 1}{0^+}=\infty

קיבלנו גבול חד-צדדי אינסופי, ולכן ניתן כבר עכשיו להסיק שיש בנקודה זו נקודת אי-רציפות מסדר שני.

אם רוצים, אפשר להמשיך (אך לא חייב) ולחשב הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = -10 + x^3

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} -10 + x^3=-10

וכן, לפי הגדרת הפונקציה הערך של הפונקציה באפס מוגדר ומקבלים:

f(0) =-10 + 0^3=-10

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה אפס, אלא יש בה נקודת אי-רציפות מסדר שני. 

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה