fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 825

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} e^{3x}, &\quad x<0\\ x^2, &\quad x \geq 0\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית

לא. הנקודה

x=0

היא נקודת אי-רציפות קפיצה. 

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = x^2

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}x^2=0

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = e^{3x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}e^{3x}=1

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים, אבל אינם שווים אחד לשני. לכן, נקודה זו היא נקודת אי-רציפות קפיצה.

נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה הערך של הפונקציה באפס מוגדר ושווה לאפס, כלומר:

f(0) = 0^2=0

אולם נתון זה אינו עוזר לנו, משום שהגבולות החי-צדדיים אינם שווים.

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה אפס, ויש בה נקודת אי-רציפות קפיצה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה