תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} e^{3x}, &\quad x<0\\ x^2, &\quad x \geq 0\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=0
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = x^2
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}x^2=0
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:
f(x) = e^{3x}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}e^{3x}=1
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים, אבל אינם שווים אחד לשני. לכן, נקודה זו היא נקודת אי-רציפות קפיצה.
נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה הערך של הפונקציה באפס מוגדר ושווה לאפס, כלומר:
f(0) = 0^2=0
אולם נתון זה אינו עוזר לנו, משום שהגבולות החי-צדדיים אינם שווים.
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה אפס, ויש בה נקודת אי-רציפות קפיצה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
