fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 820

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{\ln (1+x)}{x}, &\quad x\neq 0 \\ 1, &\quad x =0\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית


הפונקציה רציפה.

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{\ln (1+x)}{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+x)}{x}=

נשתמש בחוקי לוגרתמים, ונעביר מקדם לחזקה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \ln {(1+x)}^{\frac{1}{x}}=\ln e=1

התוצאה הסופית היא משימוש בגבול אוילר.

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.000001-) וגם שם נקבל את אותה הפונקציה:

f(x) = \frac{\ln (1+x)}{x}

כלומר, הגבול לחישוב הוא זהה, ולכן באופן דומה נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{\ln (1+x)}{x}=1

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים שווים ל-1, כלומר הם סופיים ושווים אחד לשני. כמו כן, נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה בשאלה הערך של הפונקציה בנקודה 0 מוגדר ושווה ל-1, כלומר:

f(0) =1

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה אפס. ומשום שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת (כי הפונקציות שמרכיבות אותה הן הרכבה של פונקציות אלמנטריות), מקבלים שהפונקציה רציפה בכל תחום הגדרתה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה