תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, &\quad x\neq 2 \\ 1, &\quad x =2\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=2
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^2-4}{x-2}=
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}x+2=4
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.999999) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}
קיבלנו גבול זהה, ולכן באופן דומה מקבלים:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^2-4}{x-2}=4
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים שווים ל-4, כלומר הם סופיים ושווים אחד לשני. כמו כן, נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה בשאלה הערך של הפונקציה בנקודה 2 מוגדר ושווה ל-1, כלומר:
f(2) =1
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה לא רציפה בנקודה 2, כי הגבולות החד-צדדיים לא שווים לערך הפונקציה בנקודה. יש בנקודה נקודת אי-רציפות סליקה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
