fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – אי-רציפות סליקה – תרגיל 817

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, &\quad x\neq 2 \\ 1, &\quad x =2\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית

הפונקציה לא רציפה בנקודה

x =2

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=2

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{x^2-4}{x-2}=

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}x+2=4

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.999999) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

קיבלנו גבול זהה, ולכן באופן דומה מקבלים:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^2-4}{x-2}=4

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים שווים ל-4, כלומר הם סופיים ושווים אחד לשני. כמו כן, נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה בשאלה הערך של הפונקציה בנקודה 2 מוגדר ושווה ל-1, כלומר:

f(2) =1

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה לא רציפה בנקודה 2, כי הגבולות החד-צדדיים לא שווים לערך הפונקציה בנקודה. יש בנקודה נקודת אי-רציפות סליקה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה