תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} -x, &\quad x<0\\ x^2, &\quad x \geq 0\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=0
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0_{+}} f(x)
כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = x^2
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0_{+}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0_{+}}x^2=0
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0_{-}} f(x)
כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:
f(x) = -x
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0_{-}} f(x)=\lim _ { x \rightarrow 0_{-}}-x=0
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים שווים לאפס, כלומר הם סופיים ושווים אחד לשני. כמו כן, נשים לב שלפי הגדרת הפונקציה בשאלה הערך של הפונקציה באפס מוגדר ושווה לאפס, כלומר:
f(0) = 0^2=0
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה אפס. ומשום שהיא רציפה בשאר הנקודות האחרות, אפשר פשוט לומר שהפונקציה רציפה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
