fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 5867

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-8x-9}{3-\sqrt{x}}, &\quad x>9\\ ax+b-6, &\quad 0\leq x\leq 9\\ e^{\frac{1}{x}}, &\quad x<0\\ \end{cases}

a ו-b פרמטרים. עבור אלו ערכים של הפרמטרים הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


a=-\frac{20}{3}, b=6

פתרון

הפונקציות בשלושת הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבורים ביניהן, כלומר בנקודות:

x=0, x=9

נחשב את הגבולות החד-צדדים לנקודה x=9. נתחיל מהגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-9 מימין, x קרוב ל-9, אך גדול ממנו (למשל, 9.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{x^2-8x-9}{3-\sqrt{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} \frac{x^2-8x-9}{3-\sqrt{x}}=

נציב x=9 ונקבל:

\frac{9^2-8\cdot 9-9}{3-\sqrt{9}}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” בבסיס. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

מכיוון שיש פולינום ואנו שואפים למספר סופי, נפרק את הפולינום. לשם כך, נשתמש בנוסחת השורשים ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} \frac{x^2-8x-9}{3-\sqrt{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} \frac{(x-9)(x+1)}{3-\sqrt{x}}=

הצבה עכשיו עדיין תיתן את מקרה האי-ודאות. לכן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} \frac{(x-9)(x+1)(3+\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}=

כעת, נפתח סוגריים במכנה בעזרת נוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה שלישית) ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} \frac{(x-9)(x+1)(3+\sqrt{x})}{9-x}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} -(x+1)(3+\sqrt{x})=

נציב שוב ונקבל:

=-(9 +1)(3+\sqrt{9})=

=-60

כעת, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=9, הגבול שחישבנו צריך להיות שווה לערך הפונקציה בנקודה, כלומר

f(9)=\lim _ { x \rightarrow 9^{+}} f(x)

נחשב את ערך הפונקציה בנקודה x=9. לפי הגדרת הפונקציה, נקבל:

f(9)=9a+b-6

נשווה בין הגבול לערך הפונקציה בנקודה ונקבל את המשוואה:

9a+b-6=-60

נמצא משוואה נוספת בעזרת חישוב רציפות בנקודה x=0. נחשב את ערך הפונקציה בנקודה x=0. לפי הגדרת הפונקציה, נקבל:

f(0)=a\cdot 0 +b -6=b-6

נעבור לחישוב הגבול החד-צדדי משמאל לנקודה x=0. כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = e^{\frac{1}{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}=

נציב את הנקודה ונקבל:

= e^{\frac{1}{0^-}}=

=e^{-\infty}=

=\frac{1}{e^{\infty}}=

=\frac{1}{\infty}=

=0

כעת, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=0, הגבול שחישבנו צריך להיות שווה לערך הפונקציה בנקודה, כלומר

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} =f(0)

נציב את התוצאות שקיבלנו:

b-6=0

b=6

קיבלנו את הערך של הפרמטר b. נציב אותו במשוואה הראשונה ונקבל:

9a+b-6=-60

9a+6-6=-60

9a=-60

a=\frac{-60}{9}=-\frac{20}{3}

תשובה סופית:

a=-\frac{20}{3}

b=6

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה