fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 5871

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} x^2-3, &\quad x\geq 2\\ \frac{x}{2}, &\quad x < 2\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית

.כן, הפונקציה רציפה

 

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=2

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = x^2-3

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}x^2-3=

נציב ונקבל:

=2^2-3=1

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{x}{2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}\frac{x}{2}=

נציב ונקבל:

=\frac{2}{2}=1

כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה ומתקיים:

f(2)=2^2-3=1

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים אחד לשני ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה. מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=2. מכיוון שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת, מקבלים שהפונקציה רציפה לכל x.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה