תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} x^2-3, &\quad x\geq 2\\ \frac{x}{2}, &\quad x < 2\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=2
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = x^2-3
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}x^2-3=
נציב ונקבל:
=2^2-3=1
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:
f(x) =\frac{x}{2}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}\frac{x}{2}=
נציב ונקבל:
=\frac{2}{2}=1
כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה ומתקיים:
f(2)=2^2-3=1
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים אחד לשני ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה. מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=2. מכיוון שהיא רציפה גם בכל נקודה אחרת, מקבלים שהפונקציה רציפה לכל x.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
