fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פונקציה עם ערך מוחלט – תרגיל 1215

תרגיל 

בעזרת ההגדרה חשבו את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=|x^2-4x|

תשובה סופית


f'(x) = \begin{cases} 2x-4, &\quad x< 0 \\ 4-2x, &\quad 0<x<4\\ 2x-4, &\quad x> 4\end{cases}

פתרון

ראשית, נסדר את הפונקציה לפי הגדרת ערך מוחלט:

f(x)=|x^2-4x|=

f(x)=|x(x-4)|=

= \begin{cases} x(x-4), &\quad x\leq 0 \\ -x(x-4), &\quad 0<x<4\\ x(x-4), &\quad x\geq 4\end{cases}

קיבלנו פונקציה בעלת שלושה ענפים, ובכל ענף פונקציה אלמנטרית. נחשב את הנגזרות בתוך התחומים בעזרת הגדרת נגזרת (למרות שאפשר גם להשתמש בנוסחאות גזירה). ואח”כ נחשב בנפרד את נקודות החיבור ביניהן.

נתחיל מהענפים הראשון והשלישי (כי זו אותה פונקציה). נבנה את הגבול לפי הגדרת נגזרת:

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=

נציב את הפונקציה שלנו:

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{{(x+h)}^2-4(x+h)-(x^2-4x)}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{x^2+2xh+h^2-4x-4h-x^2+4x}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{2xh+h^2-4h}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{h(2x+h-4)}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} (2x+h-4)=

נציב h=0 ונקבל:

f'(x)=2x+0-4=2x-4

נחשב גם את הנגזרת של הענף השני לפי הגדרת נגזרת:

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=

נציב את הפונקציה בענף השני ונסדר את הביטוי:

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{4(x+h)-{(x+h)}^2-(4x-x^2)}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{4x+4h-x^2-2xh-h^2-4x+x^2}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{4h-2xh-h^2}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{h(4-2x-h)}{h}=

f'(x)=\lim _ { h \rightarrow 0} 4-2x-h=

נציב h=0 ונקבל:

f'(x)=4-2x-0=4-2x

קיבלנו

f'(x) = \begin{cases} 2x-4, &\quad x< 0 \\ 4-2x, &\quad 0<x<4\\ 2x-4, &\quad x> 4\end{cases}

כעת, נבדוק את נקודות החיבור: x=0 וגם x=4.

נתחיל מהנקודה x=0. נציב בהגדרת נגזרת ונחשב:

f'(0)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(h)-0}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=

כשמנסים להציב את הפונקציה בגבול לעיל, מגלים שהפונקציה שונה כאשר שואפים ל-0 מימין (ואז h גדול מאפס) וכאשר שואפים ל-0 משמאל (ואז h קטן מאפס). לכן, נפצל את הגבול לשני גבולות חד-צדדיים. מימין נקבל:

f'_{+}(0)=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(h)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{4h-h^2}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{h(4-h)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} (4-h)=4

לעומת זאת, משמאל נקבל:

f'_{-}(0)=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(h)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{h^2-4h}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{h(h-4)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} (h-4)=-4

קיבלנו שהגבולות החד-צדדיים אינם שווים, כלומר:

f'_{-}(0)\neq f'_{+}(0)

לכן, הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=0, כלומר הנגזרת אינה קיימת בנקודה זו, והביטוי

f'(0)

לא קיים.

באופן דומה, מקבלים שגם בנקודה x=4 הפונקציה אינה גזירה, ולכן הנגזרת של הפונקציה היא:

f'(x) = \begin{cases} 2x-4, &\quad x< 0 \\ 4-2x, &\quad 0<x<4\\ 2x-4, &\quad x> 4\end{cases}

שימו לב שהנקודות x=0,4 נמצאות בתחום ההגדרה של הפונקציה, אך נעדרות מתחום ההגדרה של הנגזרת, משום שמצאנו שהפונקציה אינה גזירה בהן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה