fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פונקציה עם ערך מוחלט – תרגיל 1236

תרגיל 

האם הפונקציה:

f(x)=\frac{|x-1|}{x+1}

גזירה?

תשובה סופית


הפונקציה גזירה לכל x, חוץ מבנקודה x=1.

פתרון

ראשית, נסדר את הפונקציה לפי הגדרת ערך מוחלט:

f(x)=\frac{|x-1|}{x+1}=

= \begin{cases} \frac{x-1}{x+1}, &\quad x-1\geq 0 \\ \frac{-(x-1)}{x+1}, &\quad x-1 <0\\ \end{cases}

= \begin{cases} \frac{x-1}{x+1}, &\quad x\geq 1 \\ \frac{1-x}{x+1}, &\quad x <1\\ \end{cases}

קיבלנו פונקציה בעלת שני ענפים, ובכל ענף פונקציה אלמנטרית. לכן, הפונקציה רציפה וגזירה לכל x, מלבד אולי בנקודה x=1. נבדוק את הנקודה הזאת בנפרד.

ראשית, נבדוק רציפות. אם נגלה שהפונקציה אינה רציפה בנקודה, אזי בהכרח היא גם לא תהיה גזירה בה.

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{x-1}{x+1}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x+1}=

נציב x=1 ונקבל:

\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0

נעבור לחישוב הגבול החד-צדדי משמאל. כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.99999) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{1-x}{x+1}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} \frac{1-x}{x+1}=

נציב x=1 ונקבל:

= \frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0

כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה x=1 והערך שלה בנקודה הוא

f(1)=\frac{|1-1|}{1+1}=0

קיבלנו שהגבול מימין שווה לגבול משמאל ושניהם שווים לערך הפונקציה בנקודה. לכן, מהגדרת רציפות מקבלים שהפונקציה רציפה בנקודה x=1.

נמשיך לבדיקת גזירות בנקודה. נבדוק גזירות בנקודה x=1 לפי הגדרה:

f'(1)=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h)-0}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h)}{h}=

כאשר h שואף ל-0 מימין, h גדול מ-0. לכן, נציב את הפונקציה בענף הראשון ונקבל:

f'_{+}(1)=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1+h-1}{1+h+1}}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{h}{h+2}}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{+}}\frac{1}{h+2}=\frac{1}{2}

נחשב גם את הגבול משמאל לנקודה:

f'_{-}(1)=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(1+h)}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{1-(1+h)}{1+h+1}}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{\frac{-h}{h+2}}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0^{-}} \frac{-1}{h+2}=-\frac{1}{2}

קיבלנו שהגבולות החד-צדדיים אינם שווים, כלומר:

f'_{-}(1)\neq f'_{+}(1)

לכן, הפונקציה אינה גזירה בנקודה x=1, כלומר הנגזרת אינה קיימת בנקודה זו, והביטוי

f'(1)

לא קיים.

מכאן, הפונקציה גזירה לכל x, חוץ מבנקודה x=1.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה