fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2208

תרגיל 

הוכיחו שלכל x המקיים:

x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

מתקיים האי-שוויון:

\sin x - x +\frac{\pi}{2}\geq 1

הוכחה

נעביר לאגף אחד את כל האיברים שמכילים x ולאגף שני את המספרים:

\sin x - x \geq 1-\frac{\pi}{2}

נגדיר את הפונקציה:

f(x)=\sin x - x

כעת, אנו צריכים להוכיח שמתקיים:

f(x)\geq 1-\frac{\pi}{2}

לכל x בקטע הנתון.

הפונקציה שהגדרנו רציפה בקטע ונתון לנו קטע סגור, לכן יש לה נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) בקטע. נמצא אותן. הנקודות החשודות לקיצון מוחלט הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע. נמצא את נקודות הקיצון המקומיות. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=\cos x -1=0

\cos x =1

x=0

זו הנקודה היחידה שנמצאת בתוך הקטע הנתון, ולכן היא היחידה שמעניינת אותנו. נציב את נקודה זו ואת קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

f(0)=\sin 0 - 0=0

f(-\frac{\pi}{2})=\sin -\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1\approx 0.57

f(\frac{\pi}{2})=\sin \frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{2}=1-\frac{\pi}{2}\approx -0.57

נקודת המינימום המוחלט היא הנקודה שבה מתקבל הערך הנמוך ביותר, כלומר הנקודה

x=\frac{\pi}{2}

והערך המינימלי של הפונקציה בקטע הוא

f(\frac{\pi}{2})=1-\frac{\pi}{2}

מכאן, שכל שאר הערכים של הפונקציה בקטע גדולים (או שווים) לערך המינימלי. לכן, קיבלנו שמתקיים:

f(x)=\sin x - x \geq 1-\frac{\pi}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה