fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – הוכחת אי-שוויון – תרגיל 2222

תרגיל 

הוכיחו שעבור x המקיים:

x\geq -1

מתקיים האי-שוויון:

\sqrt{1+x}\leq 1+\frac{x}{2}

הוכחה

נעביר לאגף אחד את כל האיברים לאגף אחד:

\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}\leq 0

נגדיר את הפונקציה:

f(x)=\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}

כעת, אנו צריכים להוכיח שמתקיים:

f(x)\leq 0

לכל x בתחום הנתון.

נשים לב שהפונקציה שהגדרנו רציפה בתחום. נגזור את הפונקציה:

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2}=

=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1)

מהתבוננות בנגזרת רואים שעבור x בתחום:

(0, \infty)

נקבל:

f'(x)<0

ולכן בתחום זה הפונקציה יורדת.

נבדוק את ערך הפונקציה בנקודה אפס:

f(0)=0

בקטע הפתוח:

(-1,0)

מקבלים נגזרת חיובית:

f'(x)>0

ולכן בקטע זה הפונקציה עולה.

נשים לב שבנקודה x=-1 הנגזרת אינה מוגדרת, אבל הפונקציה כן. נחשב את ערך הפונקציה בנקודה ונקבל:

f(-1)=-1\frac{1}{2}

מניתוח תחומי העלייה והירידה של הפונקציה עולה שבנקודה x=0 הפונקציה מקבלת את הערך המקסימלי בכל תחום הגדרתה. לכן, בנקודה זו יש לפונקציה מקסימום מוחלט (גלובלי). ואם הערך המקסימלי של הפונקציה הוא אפס, אז כל ערך אחר של הפונקציה יהיה קטן מאפס, כלומר בכל נקודה אחרת מתקיים:

f(x)\leq 0

נציב את הפונקציה:

\sqrt{1+x}-1-\frac{x}{2}\leq 0

והוכחנו את האי-שוויון 🙂

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה