fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) – תרגיל 2225

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=xe^{-x^2}

בתחום:

(-\infty, \infty)

תשובה סופית


(\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}}),(-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{-1}{\sqrt{2e}})

פתרון

הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=e^{-x^2}+xe^{-x^2}\cdot (-2x)=0

שימו לב שנעזרנו בכלל המכפלה מכללי הגזירה. נסדר את המשוואה שקיבלנו:

e^{-x^2}(1-2x^2)=0

הביטוי מחוץ לסוגריים תמיד גדול מאפס. לכן, המשוואה תתקיים רק אם הביטוי בסוגריים יהיה שווה לאפס:

1-2x^2=0

1=2x^2

\frac{1}{2}=x^2

x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}

נציב את הנקודות בפונקציה ונקבל:

f(\sqrt{\frac{1}{2}})=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2e}}

f(-\sqrt{\frac{1}{2}})=\frac{-1}{\sqrt{2}}\cdot e^{-\frac{1}{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2e}}

כעת נבדוק את קצות הקטע. מכיוון שהקטע פתוח, לא נוכל להציב את הקצוות, אלא נצטרך לחשב גבולות.

\lim_{x\rightarrow \infty} xe^{-x^2}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x^2}}=

נשתמש בכלל לופיטל:

=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{ex^2\cdot 2x}=\frac{1}{\infty}=0

נחשב את הקצה השני:

\lim_{x\rightarrow -\infty} xe^{-x^2}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x}{e^{x^2}}=

שוב נשתמש בכלל לופיטל:

=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{ex^2\cdot 2x}=\frac{1}{-\infty}=0

קיבלנו שהפונקציה שואפת לישר y=0 בשני קצותיה. 

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}})

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(-\sqrt{\frac{1}{2}},\frac{-1}{\sqrt{2e}})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?